Question

求函数f(x)=x^3-3x的零点

Answer 1

零点就是f(x)=x^3-3x=0的根
那么由于因式分解，x^3-3x=x(x^2-3)=x(x+根号3)(x-根号3)=0
知道，f(x)有三个零点，0，根号3和-根号3.
欢迎追问~

追问

弄懂了，再问一下函数f(x)=x^3-3x在区间【1，+∞】上是增函数怎么证明？

追答

这个一般来说我们要求导，f'(x)=3x^2-3.由于f'(x)在区间【1，+∞】是始终大于等于0的，所以说在这个区间上为增函数。
如果你没有学导数，也可以利用增函数的定义，计算f(x1+x2)-f(x1)，当然这个一般比较麻烦.

追问

我没有学过导数，增函数的定义搞不清啥意思，计算没头绪，麻烦你证明一下。

追答

恩，那这样。首先，增函数就是随着x的增大，y也跟着增大，或者起码不减小。这个意思就是，如果我在定义域里任意有两个数x1和x2，如果x2>x1时，f(x2)>=f(x1)，那么这个函数就是增函数了。
我们设x1是定义域里面的一个数，dx是大于等于0的数，x2=x1+dx。那么增函数的意义就在于，如果你可以证明f(x1)<f(x2)就可以了。
那么开始证明了,用做差，f(x2)-f(x1)=x2^3-3*x2-x1^3+3*x1
经过因式分解，可以得到这个差是(x2-x1)(x2^2+x1x2+x1^2-3)
这个式子的第一个因式结果是dx，是大于等于0的。第二个因式，由于x1，x2都是大于等于1的数，所以第二个因式也是大于等于0的，所以这个差f(x2)-f(x1)就是大于等于0的。
这样就证明了。

Answer 2

【单调性定义】：对于函数f(x)，在其定义域上【任意】取两个值，x1 和 x2 且x1＜x2
如果 f(x1)＜f(x2)恒成立，则函数f（x）在【定义域上】是单调递增函数。
如果f（x1）＞f（x2）恒成立，则函数f（x）在【定义域上】是单调递减函数。

证明单调性常用方法是【作差法】，即比较f（x1）-f（x2） 的值与0的大小

有时也用【作商法】，即比较f（x1）/ f（x2）的值与1的大小
【作商法】注意f(x2)≠0

【立方差公式】：a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)

【求证】：函数f(x)=x^3-3x 在【1，+∞）是增函数

【证明】：在【1，+∞）上任意取两个数 x1 和x2 且 1≤x1＜x2

【f(x1)-f(x2) 】
= (x1^3-3x1) - (x2^3-3x2)
=(x1^3-x2^3) - 3(x1-x2)
=(x1-x2)(x1^2+x1*x2+x2^2) - 3(x1-x2)
=【x1-x2】【x1^2+x1*x2+x2^2 - 3】

因为x1＜x2
所以，【x1-x2＜0】

因为，x1≥1 ，x2＞1
所以，x1^2>1 ，x2^2>1 ，x1*x2 >1
则，x1^2+x1*x2+x2^2 ＞3
可得，【x1^2+x1*x2+x2^2 - 3＞0】

那么，【x1-x2】【x1^2+x1*x2+x2^2 - 3】＜0
即【f(x1)-f(x2) 】＜0

所以，函数f（x）在【1，+∞）上是增函数。