Question

高中 函数 椭圆x2/4+y2/2=1的左右焦点分别为F1、F2，直线L过F2与椭圆相交于AB两点，O为坐标原点

以AB为直径的圆恰好过O，求L的方程

Answer 1

以AB为直径的圆恰好过O，则角AOB=90°。设A(x1,y1)，B(x2,y2)。则x1*x2+y1*y2=0;设所求直线方程为y=kx+b,又该直线过右焦点（√2,0）。则直线的方程可化为y=kx-√2k。联立直线方程和椭圆方程，消去y,得到一个关于x的一元二次方程。(1+2k^2)x^2-4√2*k^2*x+4k^2-4=0.
则x1+x2=(4k^2-4)/(1+2k^2) .x1*x2=(4√2*k^2)/(1+2k^2),将x1，x2代入直线方程，则可算得y1*y2=k^2*x1*x1-√2*k^2(x1+x2)+2k^2.
最后由x1*x2+y1*y2=0,可算出k=√2或-√2。则可得直线方程y=√2x-2或者y=-√2x+2

Answer 2

以AB为直线的圆过原点，则OA垂直于OB。也就是说：直线OA与直线OB垂直。设A（x1,y1），B（x2,y2）得斜率Koa*Kob=-1 即，x1x2+y1y2=0（1）。
直线AB过焦点F2（根号2,0），设直线AB:y=kx+b，其中焦点满足该方程（2）。
联立椭圆方程与直线AB方程，得到x1x2 ， y1y2 的表达式。结和（1）（2）两个条件解出K与b，得出方程表达式。
注意：还得考虑当AB直线垂直于x轴时，那时k不存在要单独考虑

Answer 3

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