Question

求不定积分 s(√(x+1)-1)/(√(x+1)+1)·dx

求解惑
多谢大家了
不过 好像1和4楼的和答案一样

Answer 1

原式=∫[√（x+1)-1]^2dx/(x+1-1)
=∫[x+1-2√（x+1)+1]dx/x
=∫[1-(2/x)√（x+1)+1/x]dx
=x+ln|x|-2∫√（1+x)dx/x,
∫√（1+x)dx/x,
设设√（1+x)=u,
1+x=u^2,x=u^2-1,
dx=2udu,
∫√（1+x)dx/x=∫u*2udu/(u^2-1)
=2[∫(u^2-1)+1]du/(u^2-1)
=2∫du+2∫du/(u^2-1)
=2u+∫du/(u-1)-∫√du/(u+1)
=2u+ln|(u-1)/(u+1)|+C1
=2√(1+x)+ln{|[√（1+x)-1]/[√（x+1)+1]}+C1,
∴原式=x+ln|x|-4√(1+x)-2ln{|[√（1+x)-1]/[√（x+1)+1]}+C。

Answer 2

令t=√(x+1) 那么x=t^2-1
dx=2tdt
(√(x+1)-1)/(√(x+1)+1)·dx
=((t-1)/(t+1))2t·dt
=(1-2/(1+t))2t·dt
=(2t-4t/(1+t))·dt
=(2t-(4t+4)/(1+t)+4/(1+t))·dt
=(2t-4+4/(1+t))·dt
=t^2 - 4t + 4ln|1+t| + c
=x+1-4√(x+1)+4ln(1+√(x+1))+c
=x-4√(x+1)+4ln(1+√(x+1))+c

Answer 3

换元法,设t=√(x+1)
则x=t²-1
dx=2tdt
原式=∫2t(t-1)/(t+1)dt
=∫[2t-4+(4/(t+1))]dt
=t²-4t+4ln|t+1|+C
=x-4√(x+1)+4ln[(√(x+1)-1)/x]+C

Answer 4

∫((x+1)^0.5-1)/((x+1)^0.5+1)dx
=∫(x+1-2(x+1)^0.5)/x)dx
=∫(1+1/x-2(x+1)^0.5/x)dx
=∫(1+1/x-2(x+1)^0.5/x)dx
=x+lnx-2(2(x-1)^0.5+ln(((x+1)^0.5-1)/((x+1)^0.5+1))+C