Question

定义在[-1,1]上的奇函数f(x)满足f(1)=2,且当a,b∈[-1,1],a+b≠0时,有(f(a)+f(b))/(a+b)＞0

⑴试问函数f(x)的图像上是否存在两个不同的点A,B，使直线AB恰好与Y轴垂直，若存在，求出A,B两点的坐标；若不存在，说明理由并加以证明。 ⑵若1/2f(x)≤m^2+2am+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立，求m的取值范围。

Answer 1

【提示】
1.由奇函数和(f(a)+f(b))/(a+b)＞0可以联想到(f(a)-f(b))/(a-b)＞0，再由此可以联想到割线，割线的极物拍限——切线，求导数，就有在[-1,1]上恒有f‘(x)＞0
2.f‘(x)＞0，增函数，最大值可求MAX=f(1)=2，要证1/2f(x)≤m^2+2am+1，只需1/2MAX≤m^2+2am+1，即m(m+2a)≥0
然后由a∈[-1,1]，分m<0，m=0，m>0三种情况来讨论
a。m<0，则m+2a≤0，a≤-m/2，只要a的最大值1≤-m/2，m≤-2
b。m=0，显然m(m+2a)≥0成立，m=0
c。m>0，则m+2a≥0，a≥-m/2，只要a的最罩慧羡碧丛小值-1≥-m/2即可，m≤2
综合abc -2≤m≤2