Question

已知f(X)=X+a/X(a>0),当X∈【1,3】时,f(x)的值域为A,且A属于等于【n,m】(n<m)

1. 若a=1,求m-n的最小值
2. 若m=16,n=8，求a的值
3. 若m-n小于等于1，且A=【n,m】，求a的取值范围
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Answer 1

1.求导得f(X)在X∈【1,3】上为增函数 ，所以f(x)的值域为（2 ，10/3）所以m-n的最小值为10/3-2=4/3
2.求导X>a^0.5上为增函数,当1<a^0.5<3时，即1<a<9，f(X)最小为8 得a=16.最大值为f(1)=17 或.f(3)=64/3 但都不为16，所以这种情况不符合，,当3<a^0.5时，即a>9，f(X)在X∈【1,3】上为减函数 ，f(X)最小=f(3)=3+a/3=8 得a=15 ，此时f(X)最大=f(1)=1+15=16 这种情况符合；,当a^0.5<1时,f(X)在X∈【1,3】上为增函数,f(X)最小=f(1)=1+a=8 得a=7，f(X)最大=f(3)=3+7/3 所以这种情况不符合；综上所述 a=15
3.由2可知当1<a^0.5<3时，即1<a<9，f(X)最小为2a^0.5, f(X)最大=f(1)或f(3)， f(1)=1+a ,f(3)=3+a/3,所以m-n=1+a-2a^0.5小于等于1得0<a<4,综上1<a<4
当3<a^0.5时，即a>9 ，f(X)最小=f(3)=3+a/3， f(X)最大=f(1)=1+a ,所以m-n= 1+a-3-a/3小于等于1得a<9/2，这种情况不符合
当a^0.5<1时,f(X)在X∈【1,3】上为增函数，f(X)最小=f(1)=1+a ，f(X)最大=3+a/3,所以m-n=3+a/3-1-a小于等于1 得a>3/2这种情况不符合
综上所述1<a<4