Question

高中数学。求抛物线y=x²上的点到直线x-y-2=0的最短距离

Answer 1

设与直线x-y-2=0的平行线为x-y+t=0与抛物线有一个交点，则可与抛物线方程联立的x^2-x-t=0，要有一个交点，即△=0 : 1+4t=0 可算出t=—1/4，再把t值带入方程中，算出与抛物线的交点坐标（1/2,1/4），再利用点到直线的距离公式可算出最短距离为（7倍根号2）/8

Answer 2

求导y'=2x,有2x=1得x=1/2，y=1/4
由点到直线的距离公式得最短距离
d=|1/2-1/4-2|/√2=7√2/8
说明下：抛物线上的点到直线的最短距离，就是求与直线平行得抛物线的切线和直线的距离，切线与直线平行，所以切线斜率为1.求导后，令导数为1，求得切点，切点到直线的距离就是最短距离

Answer 3

设抛物线y=x²上的点为(x', x'²)
则由点到直线的距离d=Ix'-x'²-2I/√(1+1)
=(√2/2)*I-(x'-1/2)²-7/4I
所以当x'=1/2时
d最小=(7/8)√2
即为所求的最短距离。

Answer 4

两者不相交，所以最短线在y=x^2上的切线应与直线平行，所以切线斜率为1，所以（1，1）到直线距离最短，所以直线距离公式得根号2

Answer 5

设点为(x,x²)
距离d=|x-x²-2|/根号2
上面的二次函数套绝对值。最小值在x=1/2处取到
答案为7根号2/8