Question

双曲线 已知P为双曲线 上一点，F1、F2为它的左右两个焦点，PQ是∠F1PF2的角平分线，过点F1作PQ的垂线，垂

已知P为双曲线x^2/9-y^2=1上一点，F1、F2为它的左右两个焦点，PQ是∠F1PF2的角平分线，过点F1作PQ的垂线，垂足为R，O为坐标原点，求OR距离

Answer 1

不妨设点P在双曲线的右支上，
双曲线x^2/9-y^2=1,a=3.
延长PF2与F1R相交于G点
∵PQ是∠F1PF2的角平分线，而PQ⊥F1G
∴△F1PR全等于△GPR.
从而△F1PG是等腰三角形，即有PG=PF1.
F2G=PG-PF2=F1P-F2P=2a（双曲线的定义）
连接OR（O是坐标原点）
∵O是F1F2的中点，R是F1G的中点
∴OR是三角形F1F2G的中位线，OR=1/2*F2G=1/2*2a=a
也就是Q点到原点的距离OR为定值a=3.