Question

已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d （a不等于0，x属于R） ,-2是f(x)的一个零点，又f(x)在x=0处有极值

已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d ,-2是f(x)的一个零点，又f(x)在x=0处有极值
（1）求c的值。
（2）b/a 的范围
（3）当b=3a时，求使{y:y=f(x),x大于等于-3，x小于等于2}包含于[-3，2]成立的实数a的取值范围

Answer 1

（1）因为-2是f(x)的一个零点，则d=-2，f(x)的导数为3ax^2+2bx+c,因为f(x)在x=0处有极值则f'(0)=c=0.
（2）f'(x)=3ax^2+2bx，在区间（-6，-4）和（-2，0）上是单调的，且单调性相反
所以分别取x=-5，x=-1，f'(-5)*f'(-1)=（75a-10b）（3a-2b）<0,解之得，1.5<b/a<7.5
(3)当b=3a时，f'(x)=3ax^2+2bx=3a[（x+1）^2-1]
a<0时，-2=<x<=0,f'(x)>0,函数递增，-3=<x<=-2或0=<x<=2,函数递减，f(-2)为极小值点，f（0）为极大值点，f（-3）=0，f（-2）=4a<0,f(0)=0,f(2)=20a<0,a<0使得条件成立。
a>0时，-2=<x<=0，f'(x)<0,函数递减，-3=<x<=-2或0=<x<=2,f'(x)>0函数递增，f（-2）为极大值点，f(0)为极小值点，f（-3）=0,f（-2）=4a,f(0)=0,f(2)=20a,则20a<=2,0<a<0.1
a=0时条件显然满足，所以
a的取值范围为a<=0.1

Answer 2

-2是f(x)的一个零点,d=-2

1) f'(x)=3ax^2+2bx+c 又f(x)在x=0处有极值 f'(x)=0 得c=0
2)好像缺条件啊

追问

是缺的，在区间（-6，-4）和（-2，0）上是单调的，且单调性相反

Answer 3

解：（1）∵f（x）=ax3+bx2+cx+d，f'（x）=3ax2+2bx+c，f（x）在x=0有极值，
∴f'（0）=0即c=0
（2）f'（x）=3ax2+2bx，由f'（x）=x（3ax+2b）=0，
得x=0或 x=-2b3af（x）在区间（-6，-4）和（-2，0）上单调且单调性相反 -4≤-2b3a≤-2，故 3≤ba≤6．
（3）b=3a，且-2是f（x）的一个零点，f（-2）=-8a+12a+d=0，d=-4af（x）=ax3+3ax2-4a，
f′（x）=3ax2+6ax=3ax（x+2）由f'（x）=0得x=0或x=-2
①当a＞0时
x -3 （-3，-2） -2 （-2，0） 0 （0，2） 2f'（x） + 0 - 0 +
f（x） -4a ↗ 0 ↘ -4a ↗ 16a
所以 当a＞0时，若-3≤x≤2，则-4a≤f（x）≤16a
②当a＜0时
x -3 （-3，-2） -2 （-2，0） 0 （0，2） 2
f'（x） - 0 + 0 -
f（x） -4a ↘ 0 ↗ -4a ↘ 16a
所以 当a＜0时，若-3≤x≤2，则16a≤f（x）≤-4a
得 {a＞016a≤2-4a≥-3或 {a＜016a≥-3-4a≤2即 0＜a≤18或 -316≤a＜0故 a的取值范围是 (0，18]∪[-316，0)．

Answer 4

参考资料：http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/f26898ae-dcf1-45ed-945e-2bd98d0fc14f

这个才是正确答案!