Question

已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=a^x-1.其中a>0且a≠1.

(1)求f(x)的解析式
(2)若a＞1,解关于x的不等式-1＜f(x)＜4，结果用集合或区间表示

Answer 1

因为函数是奇函数，所以对任意实数x，f(-x)=-f(x)。
1）当 x<0 时，-x>0，因此，f(x)=-f(-x)=-[a^(-x)-1]=1-a^(-x)，
所以 f(x)=｛a^x-1 (x>=0)； 1-a^(-x) (x<0) （这是分段函数，分两段）。

2）因为 a>1 ，所以 f(x) 在R上为增函数。
令 a^x-1=4，则 a^x=5，所以 x=loga(5) ，
令 1-a^(-x)=-1，则 a^(-x)=2，所以 x=-loga(2)，
因此，不等式 -1<f(x)<4 的解集是 （-loga(2)，loga(5)）。

Answer 2

（1）根据奇函数性质，我们设x<0，得f(x)=-f(-x)，可知-x>0，因此-f(-x)=-(a^-x-1)=1-a^-x
（2）通过画图可知，当a>1时，x>0部分f(x)范围是大于零,x<0部分f(x)范围是小于零。
因此分三部分，即x=0时，x>0时和x<0时，因为x=0,f(x)=0成立。
先看x>0部分。f(x)=a^x-1<4解得x<log以a为底5的对数。同时x大于0.
再看x<0部分。f(x)=1-a^-x>-1,解得x大于-log以a为底2的对数。同时x小于0.
综上，-log以a为底2的对数<x<log以a为底5的对数.区间形式也就是
（-log以a为底2的对数，log以a为底5的对数）