Question

问一道有关椭圆的问题

已知点P是椭圆C：x2/8+y2/4=1上的动点，F1、F2分别为左右焦点，O为坐标原点，则
/PF1-PF2/与OP的比的值的取范围是多少？

Answer 1

椭圆C：x2/8+y2/4=1
准线为x=±a^2/c
a=2√2，b=2,c=2
设P在第一象限，将椭圆化为参数方程，P（2√2cost,2sint)
再根据椭圆第二定义，椭圆上的点对焦点和对应准线的距离之比为离心率，因此
PF1＝(2√2cost+a^2/c)×c/a
PF2＝(a^2/c-2√2cost)×c/a
|PF1-PF2|=c/a×2√2cost=2/(2√2）×2√2cost＝2cost
因此
|PF1-PF2|/OP
＝2cost/√[(（2√2cost)^2+(2sint)^2]
=cost/√(1+cos^2t]
=1/√[1/cos^2t+1]
因此，当cost=0时有最小值0，cost=1时有最大值1/√2＝√2/2
故范围是0≤|PF1-PF2|/OP≤√2/2

Answer 2

零到根号2

追问

过程是啥呀？。。

追答

｜PF1-PF2｜的取值范围是零到4
当｜PF1-PF2｜取零的时候，表示点P在短轴端点处，此时OP=b=根号2
当｜PF1-PF2｜取4的时候，表示点P在长轴端点处，此时OP=a=2倍根号2.