Question

证明cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

Answer 1

令复数z1＝cosA＋isinA、复数z2＝cosB＋isinB，则：

z1z2＝cos（A＋B）＋isin（A＋B）＝（cosA＋isinA）（cosB＋isinB），

∴cos（A＋B）＋isin（A＋B）＝cosAcosB＋icosAsinB＋isinAcosB＋i^2sinAsinB，

∴cos（A＋B）＋isin（A＋B）＝（cosAcosB－sinAsinB）＋i（sinAcosB＋cosAsinB），

∴cos（A＋B）＝cosAcosB－sinAsinB。

三倍角公式证明sin3a

sin3a

=sin(a+2a)

=sin2a·cosa+cos2a·sina

=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina

=3sina-4sin3a

cos3a

=cos(2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa

=4cos3a-3cosa

Answer 2

可以用向量知识和余弦定理 来证明这个结论：
在向量坐标系中，单位向量 OA = （ cosA ，sinA ） ，OB = （ cos B ， sinB ）
则 向量 AB = （ cosA - cosB , sinA - sinB ) ,
所以 向量 AB² = （ cos A - cosB ）² +（ sinA - sinB）² = 2 - 2 （ cosA cosB + sinAsinB）
又 AB² = 1² + 1² -2 cos （ A-B） （ 余弦定理）
∴ 1² + 1² -2 cos （ A-B） = 2 - 2 （ cosA cosB + sinAsinB）
化简整理得： cos （A-B） = cosA cosB + sinAsinB
所以 cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

Answer 3

看这个

Answer 4

构造两个直角三角形AOC， BOC，建立坐标系，以O为原点， A，B位于X轴， C位于Y轴
假设OA=a， OB = b， OC=c， ∠ACO=A, ∠BCO=B，可以用正玄定理算出sin（A+B），
而 cos(A+B) = sin[π/2-A + (-B)]带入刚才推导出的sin（A+B）