Question

若f(x)是以2为周期的周期函数，且在闭区间0,2上f(x)=2x-x^2,则在闭区间2,4上f(x)等于多少？详细的过程！

周期等于2说明了什么？

Answer 1

周期等于2，说明横坐标上每个长度为2上面的函数f(x)的图形都一样，闭区间[0,2]上的图形和[2,4]的图形一样，就相当于将[0,2]上的图形向右平移了两个单位，所以f(X+2)=f(x)，f(x+2)=2x-x²
把x用x-2代替 上面的函数就变成：
f((x-2)+2)=2(x-2)-(x-2)²
f(x)=2x-4-(x²-4x+4)
f(x)=2x-4-x²+4x-4
f(x)=-x²+6x-8

追问

为什么是x用x-2代替？不是x+2? 向右平移是不是要减？

追答

向右平移两个单位，函数变成f(x+2)
问题是求在[2,4]上面函数f(x)，不是求f(x+2)
所以用x-2代替x，从而消除f(x+2)中的“+2”

Answer 2

f(x)=-x^2+2x=-（x-1）^2 +1 则f(x)在闭区间0，2上图像是以（1，1）为顶点开口向下的抛物线。
又因为周期为2，故f（x）在2，4闭区间上的图形与0，2区间上图像形状相同的开向下的抛物线，只是向右平移两个单位，所以新顶点为（1+2，1）=（3，1）。
故在2，4上f(x)=-（x-3）^2 +1=-x^2+6*x-8.
ps：周期等于2 说明f（x）=f（x+2k）其中 k为全体整数。

Answer 3

周期等于2 说明f(x)在（2，4）上的图像与在（0，2）上的相同 （闭，打不了中括号）

Answer 4

由题意可得，当x属于[2,4]时，（x-2）属于[0,2]，有f(x-2)=2(x-2)-(x-2)^2
f(x)=-x^2+6x-8
周期等于2说明了f(x+2)=f(x)

追问

为什么是x用x-2代替？不是x+2? 向右平移是不是要减？

追答

因为（x-2）属于[0,2]，才能带入在闭区间0,2上f(x)=2x-x^2,