Question

排列组合趣味题求解！！

本人一贫如洗，无分可酬，但诚意跪求高人指教，不胜感激之至！！

谢谢啊~~ 题目如下：

现有三个数字：-1 0 +1

两个数为一组（可重复），能组成3*3共九组数字，即：
（-1 -1）（-1 0）（-1 +1）、
（0 -1）（0 0）（0 +1）、
（+1 -1）（+1 0）（+1 +1）

现在，将这九组数字填入“九宫格”（即填入一个纵横都是三个单元的表格）。

请问，是否存在填空方案，可以使九宫格“横竖斜”共八个方向上的三组数之和都等于0？

如果存在上述方案，请问一共可能有几种方案？

Answer 1

首先说（1,1）不能放在四个角上，原因如下：四个角上得元素必须有三组等于0的组合，对于（1,1）只有两种形式：（1,1）+（0,0）+（-1,-1）和（1,1）+（-1,0）+（0，-1）。能够组合成三种的是除（0,0）外的四种形式，而中将按元素则需要四种组合才能满足条件，所以中间元素一定是（0,0）。当（0,0）在中间时一种情况是：
（-1, 1）
（-1, -1） （ 0 , 0） （ 1, 1）
（ 1,-1）
四个角上得元素是所在行和所在列的组合满足等0条件的公共元素，可以知道是唯一的。接下来把上式旋转可以得到4种方案，然后对上式进行另一种变换，把（-1，-1）和（1,1）互换位置，同理可以得到4种方案。所以一共是有8种方案的！

Answer 2

(-1,0) (+1,+1) (0,-1)
(-1,+1) (0,0) (+1,-1)
(1,0) (-1,-1) (0,1)

追问

请问这是唯一的组合方式吗？

追答

不是，第二行三个可以随便对换位置
第一三行左右任一对可以对调
第一三行之间可以全部对调

追问

抱歉，因为题目要求说出可能的方案总数？请您再帮帮忙好吗？

追答

昨晚到最后急着睡了，没给对答案
这题的关键是(+1,+1)和(-1,-1)必须分别放在第一行和第三行的中间，或第一列和第三列的中间
左上角和右上角可以交换，有两种组合，取2
中间三个可以任意换位置，有六种组合，取6
左下角和右下角可以交换，有两种组合，取2
第一行和第三行可以交换，有两种组合，取2
行变列，有两种组合，取2
最后的结果就应该是上面几个数的积，即
2X6X2X2X2＝96种组合
希望对你有帮助，我能想到的也就这些了