Question

线性代数疑问

1.设A为4阶实对称矩阵，且A^2+A = O,若A的秩为3，求A的特征值。
2.线性方程组Ax=b有两个不同的解，这一条件为什么能推出A的秩为2呢？
（我只知道方程组Ax=b有两个不同的解，说明 lAl =0）

Answer 1

（1）
A^2+A = O
则f(x)=x^2+x是矩阵A的一个化零多项式，于是A的特征值只能是f(x)的根，即0,-1
因为r(A)=3，所以A的特征值是0,-1,-1,-1

(2)
Ax=b有两个不同的解,只能说明Ax=0有非零解，即其次方程的基础解系里有向量！于是Ax=b,才可以有无穷多解，至于r(A)=2，是结合具体题目的，比如有3个未知数，那n=3,基础解系向量有n-r(A)=3-2=1个自由向量，是可以的。单凭你给出的条件不知道r(A)是多少

追问

A^2+A = O，则f(x)=x^2+x是矩阵A的一个化零多项式。就是这里不太懂

追答

这样的，我写的内容可能有点超范围了，这是《矩阵论》的定理，《线性代数》可能没有。。。
但是记结论很简单，就是把A^2+A=O，里面的A换成x，变成一个多项式，就叫化零多项式。顾名思义就是把A代入这个多项式会得到零矩阵！！
于是A的特征值只能是这个多项式的根，但是注意，根不一定都是A特征值，比如此处：根是0,-1,那A的特征值可能是全0，可能是全-1，也可能都有，就要靠后面的秩来加以判断。
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证明的话，还是先不说了，严格证明起来，有很多超过《线性代数》的内容。
但是这个结论我记得本科的时候就一直当默认的在用，是可以的。真正理解的确是到了研究生阶段学了《矩阵论》才懂的。

追问

啊，研究生就是和本科生有差别啊！

Answer 2

(1) 因为 A^2+A = O
所以 A 的秩为 0 或 2.
又因为 r(A)=3, A为实对称矩阵
所以 A 的特征值为 2,2,2,0.

(2) Ax=b有两个不同的解
所以 r(A)<n
你给的条件不足, 应该还有别的隐藏的条件

追问

你在线吗？如果在线，我hi你，方便一点

追答

在呢

追问

"lry31383”这个号停用了吧?对它，我根本发不起消息

追答

哈哈 不会的 我消息你

追问

咦？莫反应呢

追答

怎么会呢　你装ＨＩ了没？

追问

装了的

追答

别追问了　问一次扣你１０分

因为 A^2+A = O
所以 A 的秩为 0 或1.
又因为 r(A)=3, A为实对称矩阵
所以 A 的特征值为 1,1,1,0.

唉 竟然把^2 +A看成 A的系数是2了

追问

分倒是其次，为什么hi不起呢？头痛，你那边给我发消息是什么反应呢？我这边是什么反应都没有

追答

我晕了
设 a 是A的特征值, 则 a^2+a 是 A^2+A 的特征值
而 A^2+A =0, 零矩阵的特征值只能是0
所以 a^2+a =0
所以 a(a+1)=0
所以 A 的秩为 0 或-1.
又因为 r(A)=3, A为实对称矩阵
所以 A 的特征值为 -1,-1,-1,0.