Question

佩亚诺余项泰勒公式

x→0时
arctanx = x - 1/3*x^3 + o(x^3)
这里是怎么来的?

谢谢了

Answer 1

带佩亚诺余项的泰勒公式可以表示为：

f(x)=f(x0)+(x-x0) * f'(x0)/1!+ (x-x0)^2 * f''(x0)/2!+… +(x-x0)^n * f^(n) (x0)/n!+o((x-x0)^n)

而x0→0时,

f(x)=f(0)+ x * f'(0)/1!+ x^2 * f''(0)/2!+… +x^n * f^(n) (0)/n!+o(x^n)

泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

扩展资料

泰勒公式形式

泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x0）的n次多项式来逼近函数的方法。

若函数f（x）在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x。

其中，表示f（x）的n阶导数，等号后的多项式称为函数f（x）在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn（x）是泰勒公式的余项，是（x-x0）n的高阶无穷小。

Answer 2

带佩亚诺余项的泰勒公式可以表示为：
f(x)=f(x0)+(x-x0) * f'(x0)/1! + (x-x0)^2 * f''(x0)/2! +… +(x-x0)^n * f^(n) (x0)/n! +o((x-x0)^n)
而x0→0时，
f(x)=f(0)+ x * f'(0)/1! + x^2 * f''(0)/2! +… +x^n * f^(n) (0)/n! +o(x^n)
显然当f(x)=arctanx时，
f(0)=0
f '(x)=1/(1+x^2)，f ''(x)= -2x/(1+x^2)^2，
f '''(x)= -2/(1+x^2)^2 - 2x *(-2) * (2x)/(1+x^2)^3 = (6x^2-2)/(1+x^2)^3
所以当x0→0时，
f '(0)=1，f ''(0)=0，f '''(0)= -2

于是
arctanx=arctan0 + x * f'(0)/1! + x^2 * f''(0)/2! + x^3 * f''(0)/3! + o(x^3)
=0+ x +0*x^2/2 -2*x^3/6 +o(x^3)
= x - 1/3*x^3 + o(x^3)