Question

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的右顶点为A（1.0）,过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1~~

求椭圆C1的方程

Answer 1

1)所求的椭圆方程为
x^2+y^2/4=1

2)解：如图，
设 M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,t^2+h)
则抛物线C2在点P处的切线斜率为 y'=2t

直线MN的方程为：
y=-t^2+2tx+h

将上式代入椭圆C1的方程中，得

4x^2+(2tx-t^2+h)^2=4
化简：
4（1+t^2)x^2-4t(t^2-h)x+(t^2-h)^2=4 ①

因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，
所以①式中的
△>0
16[-t^4+2(h+2)t^2-h^2+4]>0 ②
设线段MN的中点的横坐标是x3 ，则
x3=(x1+x2）/2=t(t^2-h)/2(1+t^2)
设线段PA的中点的横坐标是x4 ，则
x4=(t+1)/2

由题意，得
x3=x4
即：
t^2+(1+h)t+1=0

△>0 解不等式得：
h>=1 或 k>=-3

当h<=-3时，
h+2<0 , 4-h^2<0

则不等式②不成立，

所以 h>=1

当h=1时 ，代入方程③得：
t=-1

将 h=1, t=-1 代入不等式②，检验成立。