Question

已知：如图,Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，E为AB边中点，CE=AE，且∠BCD=3∠DCA.求证：DE=DC

Answer 1

∵三角形ABC是直角三角形 ,∠ACB=90°E是AB的中点

∴BE＝CE＝AE（直角三角形斜边中线为斜边的一半）

∴∠B=∠BCE ∠CED=∠B+∠BCE=2∠BCE

∵ CD⊥AB

∴∠B=∠DCA

∴∠BCE=∠DCA

∵∠BCD=3∠DCA

∴∠ECD=∠BCD-∠BCE=3∠BCE-∠BCE=2∠BCE

∴∠ECD=∠CED

∴DE=DC 三角形CDE是等腰三角形

追问

依据再注详细一点。谢谢。

追答

∵三角形ABC是直角三角形 ,∠ACB=90°E是AB的中点
∴BE＝CE＝AE（直角三角形斜边中线为斜边的一半）
∴∠B=∠BCE （等边对等角）∠CED=∠B+∠BCE=2∠BCE （外角等于非邻外2角的和）......1
∵ CD⊥AB ∴∠B=∠DCA （acd+bcd=90=bcd+b）
∴∠BCE=b=∠DCA
∵∠BCD=3∠DCA（已知）
∴∠ECD=∠BCD-∠BCE=3∠BCE-∠BCE=2∠BCE ...... 2
由1.2知∴∠ECD=∠CED
∴DE=DC 三角形CDE是等腰三角形

Answer 2

证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB
∴∠BCD+∠ACD=∠BCD+∠B=90°
∴∠B=∠ACD
∵CE是AB上的中线
∴CE=BE=AE
∴∠B=∠BCE
∵∠BCD=3∠DCA
∴∠BCD=3∠BCE
∴∠ECD=2∠BCE
∵∠CED=∠B+∠BCE=2∠B
∴∠ECD=∠CED
∴DE=DC