Question

根号下2+x^2的不定积分是多少?

要过程

Answer 1

具体回答如下：

根据题意，令x=根号下2tant

t=arctan(x/根号下2)

dx=根号下2*(sect)^2 dt

根号下(2+x^2)dx

=根号下2*sect*根号下2*(sect)^2 dt

=2(sect)^3dt

=sect*tant+ln|sect+tant|+c

=x/根号下(2+x^2)+ln|1/根号下(1+1/2*x^2)+x/根号下2|+c

不定积分的性质：

如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x).即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。

这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。

Answer 2

x=根2*tant,t=arctan(x/根2),dx=根2*(sect)^2 dt

S根号下(2+x^2)dx

=S根2*sect*根2*(sect)^2 dt

=2S(sect)^3dt

=sect*tant+ln|sect+tant|+c

=x/根号下(2+x^2)+ln|1/根号下(1+1/2*x^2)+x/根2|+c

解释

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 3

x=根2*tant,t=arctan(x/根2),dx=根2*(sect)^2 dt
S根号下(2+x^2)dx
=S根2*sect*根2*(sect)^2 dt
=2S(sect)^3dt
=sect*tant+ln|sect+tant|+c
=x/根号下(2+x^2)+ln|1/根号下(1+1/2*x^2)+x/根2|+c

追问

我就是想知道从这步
=2S(sect)^3dt
到这步=sect*tant+ln|sect+tant|+c怎么来的！不要一笔带过不明白啊!怎么演算过来的？详细一点。。。

追答

S(sect)^3dt=Ssectdtant=secttant-Stantdsect=secttant-Stant*sect*tantdt=S(1-cost^2)/cost^3 *dt
=secttant-S(sect)^3dt+Ssectdt
=secttant-S(sect)^3dt+ln|sect+tant|
S(sect)^3dt=1/2*secttant+1/2*ln|sect+tant|+c

2S(sect)^3dt=sect*tant+ln|sect+tant|+c