∫ln(x+√(1+x^2))dx 求不定积分 步骤详细点

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powerstone_83
2011-12-06 · TA获得超过2265个赞
知道小有建树答主
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楼主,你如果对双曲正弦,三角余弦函数有经验的话,就会知道y=ln(x+sqrt(1+x^2))是三角正弦函数y=sinh(x)的反函数
所以这里令x=sinh(t),那就有ln(x+√(1+x^2))dx=t*dsinh(t)=t*cosh(t)dt
然后用分部积分可以得到不定积分为t*sinh(t)-sinh(t)=(t-1)*sinh(t)
换成x就是(ln(x+√(1+x^2))-1)*x
drug2009
2011-12-06 · TA获得超过1.4万个赞
知道大有可为答主
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∫ln(x+√(1+x^2))dx
=xln(x+√(1+x^2) -∫xd(ln(x+√(1+x^2))
[ln(x+√1+x^2)]'=[1+x/√(1+x^2)]/(x+√(1+x^2))=1/√(1+x^2)
=xln(x+√(1+x^2)-∫xdx/√(1+x^2)
=xln(x+√(1+x^2)-(1/2)∫d(1+x^2)/√(1+x^2)
=xln(x+√(1+x^2)-√(1+x^2)+C
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kknd0279
2011-12-06 · TA获得超过1.9万个赞
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∫ln(x+√1+x^2)dx
=x*ln(x+√1+x^2)-∫xdln(x+√1+x^2)
=x*ln(x+√1+x^2)-∫(x/√(1+x^2)*dx

设x=tant t=arctanx
∫(x/√(1+x^2)*dx=
∫tant/√(1+tant^2)*dtant=∫tant*sectdt=∫tant*sectdt
=sect=sec(arctanx)
所以上式=x*ln(x+√1+x^2)-sec(arctanx)+c
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