Question

设过抛物线y²=2px（p>0)的焦点且倾斜角为π/4的直线交抛物线于A、B两点，若弦AB的中点垂线恰好过点

设过抛物线y²=2px（p>0)的焦点且倾斜角为π/4的直线交抛物线于A、B两点，若弦AB的中点垂线恰好过点Q（5，0），求抛物线的方程

Answer 1

焦点为(p/2,0) tan(π/4)=1
直线方程为 y=x-p/2
与抛物线方程 y²=2px联立
(x-p/2)^2=2px
x^2-3px+(p^2)/4=0
x1+x2=3p (x1+x2)/2=3p/2
AB中点为 (3p/2,y)
代入 y=x-p/2 y=p
AB中点为 (3p/2,p)
垂线的斜率为-1
中垂线方程为 y-p=-1(x-3p/2) x+y=5p/2
过（5，0）， 5+0=5p/2 p=2

方程为 y^2=4x

Answer 2

【用“参数法”】
解：
可设两点坐标。
A(2pa², 2pa), B(2pb², 2pb)
其一，由三点A, F(p/2, 0) B共线，可得
4ab=-1
其二，由直线AB的斜率为1，可得
a+b=1
其三，由线段AB的中垂线过点Q(5,0),可得
|QA|²=|QB|²
即：p(a²+b²+1)=5
易知，a²+b²=(a+b)²-2ab=1+(1/2)=3/2
∴p[1+(3/2)]=5
∴p=2
∴抛物线方程y²=4x

Answer 3

解:
焦点(p/2,0),直线AB方程y=（x-p/2）
与 y²=2px 联立，得 y^2-2py-p^2=0 ,y1+y2=2p
所以，AB中点M的纵坐标（y1+y2）/2 =p
AB中点M的横坐标=3p/2
由于MQ垂直于AB，所以MQ的斜率= - 1
p/（3p/2-5）= -1，解得 p=2
所以抛物线方程 y²=4x