Question

已知函数f(x)=mx+n/1+x²是定义在(－1,1)上得奇函数,且f(1/2)=2/5(1)求实数m ,n （2）用定义证明

f（x）在（﹣1,1）上是增函数（3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t）﹤0

Answer 1

1.∵f(x)在(-1,1)上的奇函数,
所以f(0)=0,
即f(0)=n=0
又∵f(1/2)=(m/2+n)/(1+1/4)=2/5
∴m=1
∴f(x)=x/(1+x^2)

2.设-1<x1<x2<1
∴f(x1)=x1/(1+x1^2),f(x2)=x2/(1+x2^2)
∴f(x1)-f(x2)=x1/(1+x1^2)-x2/(1+x2^2)
化简可得：f(x1)-f(x2)=[（x1-x2)(1-x1x2)]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]
又∵x1-x2<0，1-x1x2>0,(1+x1^2)(1+x2^2)>0
∴f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2)
∴函数f(x)在区间(-1,1)上是增函数

3. f（t-1）+f（t）﹤0
f（t-1）﹤-f（t）
因为f(x)是奇函数，
所以上式可以化为：f（t-1）﹤f（-t）
由第二题知：f（x）在（﹣1,1）上是增函数，
所以
t-1﹤-t，
-1<t-1<1,
-1<t<1,
解得0<t<1/2.