Question

高数二重积分题：计算由平面x=0,y=0,x=1,y=1所围成的柱体被平面z=0,2x+3y+z=6截得的立体体积

Answer 1

本题是一个曲顶柱体的体积，结果为二重积分，积分区域是底面，也就是0<=x<=1，0<=y<=1
被积函数是顶面方程：z=6-2x-3y，做二重积分就可以了。（本题用三重积分做也可以）
∫∫(6-2x-3y)dxdy
=∫[0,1]∫[0,1] (6-2x-3y)dxdy
=∫[0,1] (6x-x^2-3xy) dy [x用1，0代入相减]
=∫[0,1] (5-3y) dy
=5y-(3/2)y^2 [y用1，0代入相减]
=5-(3/2)=7/2

Answer 2

你画一个图，可知所得立体的底面为xoy平面内直线x=0,y=0,x=1,y=1围成的正方形，0<=x<=1,
0<=y<=1，该正方形区域用d表示
由2x+3y+z=6得z=6-2x-3y
下式中(0,1)表示积分上限为1，积分下限为0
所求体积v=∫∫（d）(6-2x-3y)dxdy
=∫(0,1)dx∫(0,1)(6-2x-3y)dy
=∫(0,1)(6y-2xy-3/2y^2)|(0,1)dx
=∫(0,1)(6-2x-3/2)dx
=∫(0,1)(9/2-2x)dx
=(9/2x-x^2)|(0,1)
=7/2

Answer 3

本题是一个曲顶柱体的体积，结果为二重积分，积分区域是底面，也就是0<=x<=1，0<=y<=1
被积函数是顶面方程：z=6-2x-3y，做二重积分就可以了。（本题用三重积分做也可以）
∫∫(6-2x-3y)dxdy
=∫[0,1]∫[0,1]
(6-2x-3y)dxdy
=∫[0,1]
(6x-x^2-3xy)
dy
[x用1，0代入相减]
=∫[0,1]
(5-3y)
dy
=5y-(3/2)y^2
[y用1，0代入相减]
=5-(3/2)=7/2