Question

如图，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC

如图，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC．
（1）求∠MON的度数；
（2）如果（1）中∠AOB=α，∠BOC=β（β为锐角），其他条件不变，求∠MON的度数；
（3）从（1）、（2）的结果中能得出什么结论？
（4）线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，

Answer 1

.解：
∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，∴∠AOC=120°
∵OM平分∠AOC，∴∠COM=60°
∵ON平分∠BOC，∴∠CON=15°
∴∠MON=∠COM-∠CON=45°

2.解：
∵∠AOB=α，∠BOC=30°，∴∠AOC=α+30°
∵OM平分∠AOC，∴∠COM=α/2+15°
∵ON平分∠BOC，∴∠CON=15°
∴∠MON=∠COM-∠CON=α/2

3.解：
∵∠AOB=90°，∠BOC=x，∴∠AOC=90°+x
∵OM平分∠AOC，∴∠COM=45°+x/2
∵ON平分∠BOC，∴∠CON=x/2
∴∠MON=∠COM-∠CON=45°

4.答：∠MON的度数只与∠AOB有关，和∠BOC无关

5.解：

Answer 2

解：（1）∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，

∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120°．

又∵OM，ON分别平分∠AOC和∠BOC，

∴∠COM= ∠AOC= ×120°=60°，

∠CON= ∠BOC= ×40°=15°．

∴∠MON=∠COM-∠CON=60°-15°=45°．

（2）∵∠AOB=α，∠BOC=30°

∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+30°．

又∵OM，ON分别平分∠AOC和∠BOC，

∴∠COM= ∠AOC= （α+30°），

∠CON= ∠BOC=15°．

∴∠MON=∠COM-∠CON= （α+30°）-15°

= α+15°-15°

= α．

（3）∵∠AOB=α，∠BOC=β，

∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β．

又∵OM，ON分别平分∠AOC和∠BOC，

∴∠COM= ∠AOC= （α+β），

∠CON= ∠BOC= β．

∴∠MON=∠COM-∠CON= （α+β）- β

= α+ β- β

= α．

（4）无论∠BOC（锐角）如何变化，∠MON恒为∠AOB的一半

Answer 3

1.解：
∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，∴∠AOC=120°
∵OM平分∠AOC，∴∠COM=60°
∵ON平分∠BOC，∴∠CON=15°
∴∠MON=∠COM-∠CON=45°

2.解：
∵∠AOB=α，∠BOC=30°，∴∠AOC=α+30°
∵OM平分∠AOC，∴∠COM=α/2+15°
∵ON平分∠BOC，∴∠CON=15°
∴∠MON=∠COM-∠CON=α/2

3.解：
∵∠AOB=90°，∠BOC=x，∴∠AOC=90°+x
∵OM平分∠AOC，∴∠COM=45°+x/2
∵ON平分∠BOC，∴∠CON=x/2
∴∠MON=∠COM-∠CON=45°

4.答：∠MON的度数只与∠AOB有关，和∠BOC无关

Answer 4

解：
（1）∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，∴∠AOC=120°
∵OM平分∠AOC，∴∠COM=60°
∵ON平分∠BOC，∴∠CON=15°
∴∠MON=∠COM-∠CON=45°

（2）∠AOC=∠AOB＋∠BOC=a＋15°

（3）解：
∵∠AOB=90°，∠BOC=x，∴∠AOC=90°+x
∵OM平分∠AOC，∴∠COM=45°+x/2
∵ON平分∠BOC，∴∠CON=x/2
∴∠MON=∠COM-∠CON=45°

（4）无论∠BOC（锐角）如何变化，∠MON恒为∠AOB的一半

Answer 5

解：（1）∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120°．
又∵OM，ON分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COM= ∠AOC= ×120°=60°，
∠CON= ∠BOC= ×40°=15°．
∴∠MON=∠COM-∠CON=60°-15°=45°．
（2）∵∠AOB=α，∠BOC=30°
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+30°．
又∵OM，ON分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COM= ∠AOC= （α+30°），
∠CON= ∠BOC=15°．
∴∠MON=∠COM-∠CON= （α+30°）-15°
= α+15°-15°
= α．

（3）∵∠AOB=α，∠BOC=β，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β．
又∵OM，ON分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COM= ∠AOC= （α+β），
∠CON= ∠BOC= β．
∴∠MON=∠COM-∠CON= （α+β）- β
= α+ β- β
= α．

（4）综合上述结论，发现规律：∠MON= ∠AOB．