Question

1/(1+e^x)的不定积分

Answer 1

解：

原式＝∫e^(-x)/(1+e^(-x))dx

＝-∫1/(1+e^(-x))d(1+e^(-x))

＝-ln(1+e^(-x))＋C

＝-ln((1+e^x)/e^x)＋C

＝x-ln(1+e^x)＋C

在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。

连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

∫1/(1+e^x)dx (上下同乘e^x)
=∫e^x/(e^x+e^2x)dx
=∫1/[e^x(e^x+1)]de^x
=∫[1/e^x-1/(e^x+1)]de^x
=lne^x-ln(e^x+1)+C
=x-ln(e^x+1)+C