Question

1/1+e^x的不定积分是什么？

Answer 1

回答如下：

 ∫1/(1+e^x)dx

＝∫e^(-x)/(1+e^(-x))dx

＝-∫1/(1+e^(-x))d(1+e^(-x))

＝-ln(1+e^(-x))＋C

＝-ln((1+e^x)/e^x)＋C

＝x-ln(1+e^x)＋C 

不定积分的意义：

设G(x)是f(x)的另一个原函数，即∀x∈I，G'(x)=f(x)，于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。

由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。

这表明G(x)与F(x)只差一个常数，因此，当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示