Question

如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．求证：CF=BF．

(2)若AD=2，圆O的半径为3，求BC的长

Answer 1

连接C点和圆心O，由于C点为圆弧BD的中点，所以OC⊥BD，交点为M，又因为OC=OB=½AB（都是半径），所以三角形CEO和三角形BMO全等。所以EO=MO,又因为OC=OB，所以OC-OM=OB-OE。即MC=EB，所以三角形FMC与三角形FEB全等。所以CF=BF。
2.连接OC交BD于点E,那么OE垂直平分BD,且OE=1/2AD=1，所以EC=3-1=2，又因为AB是圆O的直径
所以角ADB=90度，所以BD=根号36-4=4根号2，所以BE=4根号2/2,所以BC=2根号3

Answer 2

解：（1）证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB﹦90°
又∵CE⊥AB，
∴∠CEB﹦90°
∴∠BCE﹦90°-∠ACE﹦∠A，
∵C是 ⌒BD的中点，
∴∠CBD﹦∠A，
∴∠CBD﹦∠BCE，
∴CF﹦BF；

（2）∵C是 ⌒BD的中点，CD﹦6，
∴BC=6，
∵∠ACB﹦90°，
∴AB²=AC²+BC²，
又∵BC=CD，
∴AB²=64+36=100，
∴AB=10，
∴CE= AC•BC/AB= 8×6/10= 24/5，
故⊙O的半径为5，CE的长是 24/5．

Answer 3

连接AC，因AB是直径，所以角ACB=90度，所以角CAB+角CBA=90度，
因CE垂直AB，所以角CEB=90度，所以角ECB+角CBA=90度，
所以角CAB=角ECB，
又因点C是弧BD的中点，所以弧CD=弧BC，所以角CBD=角CAB
所以角CBD=角BCE，所以CF=BF。

Answer 4

（1）延长CE交圆于M，则弧CD=弧CB=弧BM
∴∠BCM=∠CBD
∴CF=BF
(2)连结OC交BD于N
则△CFN≌△BFE
∴BE=CN=3-1=2
又OE=1
∴CE=2√2
∴BC=2√3

Answer 5

证明：
连接AC，则∠ACB=90°，易证∠BCF=∠BAC
∵C是弧BD的中点
∴弧BC=弧CD
∴∠BAC=∠CBF
∴∠CBF=∠BCF
∴BF=CF
连接OC，交BD于点M
∵C是弧BD的中点
∴OC⊥BD
则OM=1/2AD =1
∴CM =2
根据勾股定理BD=4√2
∴BM=2√2
∵CM=2
∴BC=2√3