Question

线性代数问题，请教高手

A为实对称矩阵,求二次型x'Ax=0与方程组Ax=0同解的充要条件
（好像当A正定或者半正定是同解的）

Answer 1

首先Ax=0的解肯定是x'Ax=0的解。
其次，如果x'Ax=0能推出Ax=0，将A对角化，A=Q'DQ，其中D=diag(a1,...,an)，Q是正交阵。
令 y=Qx，则 x'Ax=y'Dy=a1*y1^2+...+an*yn^2
而Ax=0等价于Q'DQx=0等价于Dy=0，也就是a1*y1=...=an*yn=0
如果a1*y1^2+...+an*yn^2=0能推出每个加项都为0，必须所有ai都是非负才成立。
就是说，A正定或者半正定。

追问

为什么我觉得A负定的时候也是同解的呢？因为A负定的话x'Ax=0只有0解，而r(A)=n,所以Ax=0也只有0解，兄的讨论似乎不全啊。

追答

啊，确实不全。如果a1*y1^2+...+an*yn^2=0能推出每个加项都为0的话
那么ai必定同非负，或者同非正。
因为只要有正有负的话，就可以正负抵消得0，而不用每项为0
所以结论是这样的：所有特征值要么都非负，要么都非正。
r(A)=n是不一定的，因为某些特征值可以为0。

追问

我想你的结论应该是正确的，但是关于你的回答，我还是有些细节需要问下：
“而Ax=0等价于Q'DQx=0等价于Dy=0，也就是a1*y1=...=an*yn=0”,Q'DQx=0是如何等价于Dy=0的呢？

追答

Q'DQx=0就是Q'Dy=0。Q正交，Q'可逆，所以Dy=0

Answer 2

(Ax)'=x'A'
Ax=0,(Ax)'=0
相乘得
(Ax)'Ax=0
即
x'A'Ax=0
即二次型x'Ax=0与方程组Ax=0同解的充要条件是
A'Ax=0与Ax=0同解

追问

应该不对，A'Ax=0与Ax=0同解在此题题设下是恒成立的，而x'Ax=0与方程组Ax=0同解不是恒成立的

追答

看倒了。