二重积分：∫∫√(R^2-X^2-Y^2)dxdy, 其中D是由圆周X^2+Y^2=Rx所围成的闭区域
计算过程如下：
x² + y² = Rx ==> (x - R/2)² + y² = (R/2)² ==> r = Rcosθ
在y轴右边，与y轴相切的圆形
所以角度范围是有- π/2到π/2
又由于被积函数关于x轴对称
由对称性，所以∫∫D = 2∫∫D(上半部分)，即角度范围由0到π/2
∫∫ √(R² - x² - y²) dxdy
= ∫∫ √(R² - r²) * r drdθ
= 2∫(0，π/2) dθ ∫(0，Rcosθ) √(R² - r²) * r dr
= 2∫(0，π/2) dθ * (- 1/2) * (2/3)(R² - r²)^(3/2) |(0，Rcosθ)
= (- 2/3)∫(0，π/2) [(R² - R²cos²θ)^(3/2) - R³] dθ
= (- 2/3)∫(0，π/2) R³(sin³θ - 1) dθ
= (- 2/3)R³ * (2!!/3!! - π/2)
= (- 2/3)R³ * (2/3 - π/2)
= (1/3)(π - 4/3)R³
二重积分的意义：
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积；当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。
在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。
某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。
用极坐标来做
令x=rcosθ,y=rsinθ
则∫∫√(R^2-X^2-Y^2)dxdy
=∫∫ r *√(R^2-r^2) drdθ,
由积分区域D：X^2+Y^2=Rx可以知道
r^2
闭曲线的内部与外部
简单闭曲线将复平面分为两个区域：
1、被闭曲线C包围的有界域称C的内部；
2、不被闭曲线C包围的无界域称C的外部。
x² + y² = Rx ==> (x - R/2)² + y² = (R/2)² ==> r = Rcosθ
这是在y轴右边，与y轴相切的圆形
所以角度范围是有- π/2到π/2
又由于被积函数关于x轴对称
由对称性，所以∫∫D = 2∫∫D(上半部分)，即角度范围由0到π/2
∫∫ √(R² - x² - y²) dxdy
= ∫∫ √(R² - r²) * r drdθ
= 2∫(0，π/2) dθ ∫(0，Rcosθ) √(R² - r²) * r dr
= 2∫(0，π/2) dθ * (- 1/2) * (2/3)(R² - r²)^(3/2) |(0，Rcosθ)
= (- 2/3)∫(0，π/2) [(R² - R²cos²θ)^(3/2) - R³] dθ
= (- 2/3)∫(0，π/2) R³(sin³θ - 1) dθ
= (- 2/3)R³ * (2!!/3!! - π/2)，这里用了Wallis公式
= (- 2/3)R³ * (2/3 - π/2)
= (1/3)(π - 4/3)R³
在极坐标系下计算二重积分
需将被积函数f（x，y），积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。函数f（x，y）的极坐标形式为f（rcosθ，rsinθ）。为得到极坐标下的面积元素dσ的转换，用坐标曲线网去分割D，即用以r=a，即O为圆心r为半径的圆和以θ=b，O为起点的射线去无穷分割D，设Δσ就是r到r+dr和从θ到θ+dθ的小区域。
令x=rcosθ，y=rsinθ
则∫∫√(R^2-X^2-Y^2)dxdy=∫∫ r *√(R^2-r^2) drdθ，
由积分区域D：X^2+Y^2=Rx可以知道，
r^2<= R*rcosθ，即 r<=Rcosθ，
而画出D的图形可以知道θ的范围是[0，π]
所以
∫∫ r *√(R^2-r^2) drdθ
=∫∫ 0.5√(R^2-r^2) d(r^2)dθ
化成二次积分，
原积分=∫ [0，π]dθ ∫ [Rcosθ，0] 0.5√(R^2-r^2) d(r^2)
显然 ∫0.5√(R^2-r^2) d(r^2)= -1/3 * (R^2-r^2)^(3/2) +C(C为常数)，
代入上下限，
即 ∫ [Rcosθ，0] 0.5√(R^2-r^2) d(r^2)
=1/3 * [R^3-(Rsinθ)^3]
再对θ积分，
原积分=∫ [0，π] 1/3 * [R^3-(Rsinθ)^3]dθ
=R^3/3 ∫ [0，π] [1-(sinθ)^3]dθ
而
∫ [1-(sinθ)^3]dθ=θ- ∫(sinθ)^3dθ
=θ+∫(sinθ)^2dcosθ
=θ+∫[1-(cosθ)^2]dcosθ
=θ+cosθ-(cosθ)^3 /3 +C(C为常数)
代入上下限，
即 ∫ [0，π] [1-(sinθ)^3]dθ=[π+cosπ-(cosπ)^3 /3] -[0+cos0-(cos0)^3 /3]=π-4/3
于是原积分=R^3/3 ∫ [0，π] [1-(sinθ)^3]dθ
=R^3/3*(π-4/3)
