Question

求二重积分∫∫根号下（R^2 -X^2-Y^2）dxdy,其中积分区域D为圆周X^2+Y^2=RX.

按照下列从小到大的区间[-π/2→π/2]、[0→Rcosθ]算出来的答案是对的，为什么不是区间从[π/2 -> -π/2][Rcosθ→0]呢,我按这个区间算出来答案是(R³/3)[4/3- π ]书上的区间都是从大到小的啊。
∫∫ √(R²-x²-y²) dxdy=∫∫ r√(R²-r²) drdθ=∫[-π/2→π/2] dθ∫[0→Rcosθ] r√(R²-r²) dr=(1/2)∫[-π/2→π/2] dθ∫[0→Rcosθ] √(R²-r²) d(r²)=-(1/2)(2/3)∫[-π/2→π/2] (R²-r²)^(3/2) |[0→Rcosθ] dθ=(1/3)∫[-π/2→π/2] (R³-R³|sinθ|³) dθ=(2R³/3)∫[0→π/2] (1-sin³θ) dθ=(2R³/3)[∫[0→π/2] 1 dθ - ∫[0→π/2] sin³θ dθ]=(2R³/3)[π/2 + ∫[0→π/2] sin²θ d(cosθ)]=(2R³/3)[π/2 + ∫[0→π/2] (1-cos²θ) d(cosθ)]
=(2R³/3)[π/2 + cosθ - (1/3)cos³θ] |[0→π/2]=(2R³/3)[π/2 -1 + 1/3]=(2R³/3)[π/2 - 2/3]=(R³/3)[π - 4/3]

Answer 1

按照下列从小到大的区间[-π/2→π/2]、[0→Rcosθ]算出来的答案是对的，为什么不是区间从[π/2 -> -π/2][Rcosθ→0]呢,我按这个区间算出来答案是(R³/3)[4/3- π ]书上的区间都是从大到小的啊。∫∫ √(R²-x²-y²) dxdy=∫∫ r√(R²-r²) drdθ=∫[-π/2→π/2] dθ∫[0→Rcosθ] r√(R²-r²) dr=(1/2)∫[-π/2→π/2] dθ∫[0→Rcosθ] √(R²-r²) d(r²)=-(1/2)(2/3)∫[-π/2→π/2] (R²-r²)^(3/2) |[0→Rcosθ] dθ=(1/3)∫[-π/2→π/2] (R³-R³|sinθ|³) dθ=(2R³/3)∫[0→π/2] (1-sin³θ) dθ=(2R³/3)[∫[0→π/2] 1 dθ - ∫[0→π/2] sin³θ dθ]=(2R³/3)[π/2 + ∫[0→π/2] sin²θ d(cosθ)]=(2R³/3)[π/2 + ∫[0→π/2] (1-cos²θ) d(cosθ)]=(2R³/3)[π/2 + cosθ - (1/3)cos³θ] |[0→π/2]=(2R³/3)[π/2 -1 + 1/3]=(2R³/3)[π/2 - 2/3]=(R³/3)[π - 4/3]

追问

???

Answer 2

区间是从小到大的啊，不要随意更换，乱换最后计算肯定会算错的。

追问

可是书上的区间都是积分符号上边的数比下边的数大。

追答

没错啊，积分顺序就是从下边积到上边，所以上边大很正常啊。。

追问

例如上面：从π减到0阿。可是我给的题是从小的减大的数-π/2减到π/2

追答

积分顺序就是从下边积到上边！所以是从0到π，不是π到0，，

追问

例如上边的积分是e^π-1,按照你的说法应该是1-e^π阿，我给的题就是这样计算的。

追答

其实，，你理解错了。说法这样是没错的，对f(x)积分是从0到π，然后结果是F(π)-F(0)是这样的啊，你肯定对积分顺序没有搞清楚，要好好看看哦。