Question

高手请进！物体位移、弹簧与时间关系？

请问 物体无初速度 从 处于原长的竖直放置的轻质弹簧的顶端 下落到最低点 过程中，合力大小随时间的变化？

已知物体质量m,g,劲度系数k。

麻烦给出合力F关于时间t的表达式和推导过程~谢谢啦！

我认为图像大致如（竖轴合力大小（绝对值），横轴时间，像翅膀那样弯的两边），但是求不出表达式，帮帮忙哦！

---- ----
--- ---
-- --
- -
-
各位注意下哦~~是变加速耶~~很多公式不能用的~~~
能不能给各详细的微分推导呀~~谢谢啦

Answer 1

设向上为正
设平衡位置(就是重力与弹力大小相等的那一点)为原点。
位移：y=(mg/k)sin(sqrt(k/m)*t+Pi/2)
合力：F=-ky=-mgsin(sqrt(k/m)*t+Pi/2)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
推导的话，高中知识不够。
设平衡位置(就是重力与弹力大小相等的那一点)为原点。
因而，物体所受的合力就是F=-kx
又因为F=ma
所以-kx=ma 这里，加速度为位移对时间的二阶导数
所以物体的运动微分方程为
m*((d^2)y/dt^2)+k*y=0
解出y=Rsin(sqrt(k/m)t+ф）
初始条件：t=0时y=mg/k,dy/dt=0
r=mg/k ф=Pi/2
解法参见 同济大学数学系 主编 《高等数学 下册》 301页

Answer 2

我给你个模型啊:
假设一根横着的弹簧,平衡点为O,(图自己搞定啊)
质量为m的物体放在A点(弹簧压缩),|AO|=mg/k,
然后静止释放物体,这是简单的简偕振动,我就不推导了,你应该会的

这个模型和你的要求的题目的结果是一样的

接下来我给你大致的说下为什么一样,就不证明了
首先看物体受到的力,在你的原长点,受到mg的力,我的模型里的力也是mg,
整个简谐运动的过程的任何点受力相同,那么可以说最后两个模型的结论是一样的

Answer 3

合力F关于时间t的表达式
这个应该类似于简谐振动 平衡位置在F=MG时
此时合力为0
所以我想你想的应该没错.,.应该是类似于负余弦函数的图像吧
至于过程...我想我不能推导出来....毕竟是余弦函数的图像/用这些条件可能搞不定...对不起呢...帮不了你

Answer 4

本题合力F=kx-mg(x为物体相对与合力为处的位移)
并不符合简谐振动的条件F=-kx(此处F为回复力，k为回复系数)

Answer 5

F=mg-kx=ma
a=(mg-kx)/m
x=1/2at^2
F=mg-k(1/2at^2)=mg-k((mg-kx)/2m)t^2