已知函数f(x)和g(x)的图像关于原点对称,且f(x)=x^2+2X。
已知函数f(x)和g(x)的图像关于原点对称,且f(x)=x^2+2X。若函数y=|g(x)|-k+2有四个不同的零点,求实数k的取值范围...
已知函数f(x)和g(x)的图像关于原点对称,且f(x)=x^2+2X。
若函数y=|g(x)|-k+2有四个不同的零点,求实数k的取值范围 展开
若函数y=|g(x)|-k+2有四个不同的零点,求实数k的取值范围 展开
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关于原点对称 则y1=-y x1=-x
即 -y1=(-x1)²+2(-x1)
y1=-x1²+2x1
即g(x)=-x²+2x
y=|g(x)|-k+2=0 有四个零点
即|-x²+2x|-k+2=0 有四个零点
-x²+2x-k+2=0有两个根
4-4(k-2)>0 k<3
x²-2x-k+2=0 有两个根
4+4(k-2)>0 k>1
所以1<k<3
即 -y1=(-x1)²+2(-x1)
y1=-x1²+2x1
即g(x)=-x²+2x
y=|g(x)|-k+2=0 有四个零点
即|-x²+2x|-k+2=0 有四个零点
-x²+2x-k+2=0有两个根
4-4(k-2)>0 k<3
x²-2x-k+2=0 有两个根
4+4(k-2)>0 k>1
所以1<k<3
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-g(x)=(-x)^2+2(-x)=x^2-2x g(x)=-x^2+2x
令g(x)=-x^2+2x>0 0<x<2
y=|g(x)|-k+2={x^2-2x-k+2(x<=0),-x^2+2x-k+2(0<x<2),x^2-2x-k+2(x>=2)}
y=|g(x)|-k+2在(-无穷,0)上是减,在(0,1)上是增,在(1,2)上是减,在(2,+无穷)增。
若函数y=|g(x)|-k+2有四个不同的零点,则y的值在x=0处为负,在x=1处为正,在x=2处为负。
-k+2<0 k>2,-1+2-k+2>0 k<3,4-4-k+2<0 k>2
所以,k的取值范围是:(2,3)
令g(x)=-x^2+2x>0 0<x<2
y=|g(x)|-k+2={x^2-2x-k+2(x<=0),-x^2+2x-k+2(0<x<2),x^2-2x-k+2(x>=2)}
y=|g(x)|-k+2在(-无穷,0)上是减,在(0,1)上是增,在(1,2)上是减,在(2,+无穷)增。
若函数y=|g(x)|-k+2有四个不同的零点,则y的值在x=0处为负,在x=1处为正,在x=2处为负。
-k+2<0 k>2,-1+2-k+2>0 k<3,4-4-k+2<0 k>2
所以,k的取值范围是:(2,3)
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因为函数f(x)和g(x)的图像关于原点对称
则G(x)=-F(-x)=-(x^2-2x)=-x^2+2x
g(x)≥f(x)-|x-1即)=-x^2+2x>=x^2+2x-|x-1|
所以2x^2-|x-1|<=0
当x>=1时,2x^2-|x-1|=2x^2-x+1<=0
而2x^2-x+1=2(x-1/4)^2+7/8>0恒成立。所以x无解
当x<1时,2x^2-|x-1|=2x^2+x-1<=0
所以-1<=x<=1/2
综述,-1<=x<=1/2
则G(x)=-F(-x)=-(x^2-2x)=-x^2+2x
g(x)≥f(x)-|x-1即)=-x^2+2x>=x^2+2x-|x-1|
所以2x^2-|x-1|<=0
当x>=1时,2x^2-|x-1|=2x^2-x+1<=0
而2x^2-x+1=2(x-1/4)^2+7/8>0恒成立。所以x无解
当x<1时,2x^2-|x-1|=2x^2+x-1<=0
所以-1<=x<=1/2
综述,-1<=x<=1/2
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g(x)=-(x^2-2x)=-x^2+2x
2.-x^2+2x≥x^2+2x-|x-1|
2x^2-|x-1|<=0
当x>=1,
2x^2-x+1<=0
是空集
当x<1,
2x^2+x-1<=0
-1
<=x<=1/2
所以解是
-1
<=x<=1/2
3.
h(x)=g(x)-λf(x)=-x^2+2x-λ(x^2+2x)=(-1-λ)x^2+(2-2λ)x=(-1-λ)(x+(1-λ)/(-1-λ))^2-(-1-λ)^2/(-1-λ)
当-1-λ>0时,只要〔-1,1〕在函数对称轴的右边,则是增函数,也就是说-(1-λ)/(-1-λ)<=-1
-1+λ<=1+λ,所以λ<-1时全成立
当-1-λ<0时,只要〔-1,1〕在函数对称轴的左边,则是增函数,也就是说-(1-λ)/(-1-λ)>=1
-1+λ<=-1-λ,所以λ=<0时全成立-1<λ=<0
当-1-λ=0时,h(x)=4x,是增函数
综上,在λ=<0时是增函数
2.-x^2+2x≥x^2+2x-|x-1|
2x^2-|x-1|<=0
当x>=1,
2x^2-x+1<=0
是空集
当x<1,
2x^2+x-1<=0
-1
<=x<=1/2
所以解是
-1
<=x<=1/2
3.
h(x)=g(x)-λf(x)=-x^2+2x-λ(x^2+2x)=(-1-λ)x^2+(2-2λ)x=(-1-λ)(x+(1-λ)/(-1-λ))^2-(-1-λ)^2/(-1-λ)
当-1-λ>0时,只要〔-1,1〕在函数对称轴的右边,则是增函数,也就是说-(1-λ)/(-1-λ)<=-1
-1+λ<=1+λ,所以λ<-1时全成立
当-1-λ<0时,只要〔-1,1〕在函数对称轴的左边,则是增函数,也就是说-(1-λ)/(-1-λ)>=1
-1+λ<=-1-λ,所以λ=<0时全成立-1<λ=<0
当-1-λ=0时,h(x)=4x,是增函数
综上,在λ=<0时是增函数
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