Question

设函数f（x）的图像与函数g（x）的图像关于原点对称，且f（x）=x方+2x

（1）求y=g（x）的解析式（2）解关于x的不等式：g（x）大于等于|x-1|分之1-f（x）
16.若不等式n+1分之1+n+2分之1+...+2n分之1＞24分之m对一切n属于N*恒成立，求自然数m最大值

Answer 1

设函数f（x）的图像与函数g（x）的图像关于原点对称，且f（x）=x方+2x，（1）求y=g（x）的解析式（2）解关于x的不等式：g（x）大于等于|x-1|分之1-f（x）

(1)解析：∵函数f（x）的图像与函数g（x）的图像关于原点对称，且f(x)=x^2+2x
∴g(x)=-f(-x)=-[x^2-2x]=-x^+2x
(2)解析：不等式：g(x)>=1/|x-1|-f(x)
∵g(x)-1/|x-1|-f(x)=4x-1/|x-1|=[4x|x-1|-1]/|x-1|>=0
等价于4x|x-1|-1>=0
设h(x)= 4x|x-1|-1
写成分段函数
h(x)= 4x-4x^2-1 (x<1)
h(x)=4x^2-4x-1 (x<1)
当x<1时，h(x)=-4x^2+4x-1
h(x)为开口向下抛物线，对称轴为x=1/2
最大值h(1/2)=0
当x>=1时，h(x)=4x^2-4x-1
h(x)为开口向上抛物线，对称轴为x=1/2
一个零点为：x=(1+√2)/2
∴满足不等式：g(x)>=1/|x-1|-f(x)的解为x=1/2或x>=(1+√2)/2

16.若不等式n+1分之1+n+2分之1+...+2n分之1＞24分之m对一切n属于N*恒成立，求自然数m最大值
解析：∵不等式1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)＞m/24
当n=1,1/2
当n=2，1/3+1/4=7/12
当n=3，1/4+1/5+1/6=37/60
…..
N=n-1，1/(n-1+1)+1/(n-1+2)+...+1/(2(n-1))=1/(n)+1/(n+1)+...+1/(2n-2)
N=n，1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)
设f(n)=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n-2)+1/(2n-1)+1/(2n)
则f(n-1)=1/(n)+1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n-4)+1/(2n-3)+1/(2n-2)
f(n)-f(n-1)=1/(2n-1)+1/(2n)-1/n=1/(2n-1)-1/(2n)>0
所以f(n)是一个递增函数。
∵不等式1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)＞m/24对一切n属于N*恒成立
∴1/2>m/24
∴m<12==>m=11

Answer 2

g(x)=-f(-x)=-x^2+2x
（2）
g(x)≥f(x)-|x-1| 则有
=-2x^2+|x-1|≥0
所以x-1≥2x^2或x-1≤-2x^2
解得x属于[-1,2]

Answer 3

啊，我的头都大了