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呵呵，这个和刚开始那道题大同小异。
首先一个需要知道的是：怎样判断两个无穷小量是等价无穷小，这个就是考研数学中要求的无穷小的阶的比较问题（高阶？低阶？同阶？亦或是等价？），最普遍也是最标准的判断方法就是按照定义去判断。所以关于上图中的第一个等价表达式：ln（1+x^2）-0.5x^2等价于0.5x^2，这个变换是成立的，只不过他省略了证明过程，你只需要按照定义，把两式相除取x趋向于0时候的极限，可以得到limt【（ln（1+x^2）-0.5x^2）/0.5x^2】=0，对于怎么得到的，你既可以用不定式求极限之中的罗比达法则来求解，同时你也可以把ln（1+x^2）【这是要求记住的五个泰勒公式中的一个】展开到二阶表达式你就可以看出来了（至于我们需要展开到几阶，这个标准就是展开之后遇见第一个带有x的非零项即可，之后的你全部都可以在要求不严格的情况下用高阶无穷小一笔带过【比如ln（1+x）等价于x，那么你只需要把ln（1+x）展开到一阶，后面的什么二阶，三阶都可以用0（x）来一笔带过】）【利用泰勒级数解决问题的时候需要利用好高阶无穷小的性质以及比较方法】。既然按照定义求得比值极限值是1，那么分子和分母当然是等价无穷小了。
按照上面的思路，第二个o(x^4)一样的意思，由于具体题目不知道，我只能说他的意思了：出现了o(x^4)就表示用泰勒级数展开之后，x的一阶、二阶、三阶、四阶这四个展开式中至少有一个前面的系数不为0，比如四阶系数为A，那么展开式之中就有Ax^4这一项，如果还继续展开，会有x的五阶、六阶乃至更高阶的多项式，但是为什么都不写出来了呢？这是因为没有写出来的必要了，五阶乃至五阶之后的相对于Ax^4这一项都是无穷小，根本不会影响对具体题目的极限值的求解，所以把后面的展开式写出来是画蛇添足，完全没必要。
如果楼主你对于这种类型的题目都还把握不准的话，那么很多知识点你都需要强化了，因为无穷小的观点是很基本的（我在高中学习物理的时候就常常用到这个方法了【高中物理竞赛对于微元法什么的都是很要求的】）。比如教科书上的对于第一章上面的无穷小和无穷大的关系乃至无穷小的一些运算法则，比较方法什么的你都需要强化了。说白了无穷小的思想就蕴含了我们常说的“抓大头”这个思想，“抓大头”的方法对于分子分母都是幂多项式的情况来说是很常用的，如果是趋近无穷大，那么我们仅仅需要看分子分母的最大的多项式的那个因子的阶数和系数就可以了，后面的都可以不看。
呵呵，楼主如果你今年考研的话感觉你数学是个难题啊。呵呵，我明年也会考研，祝福你我吧。
首先一个需要知道的是：怎样判断两个无穷小量是等价无穷小，这个就是考研数学中要求的无穷小的阶的比较问题（高阶？低阶？同阶？亦或是等价？），最普遍也是最标准的判断方法就是按照定义去判断。所以关于上图中的第一个等价表达式：ln（1+x^2）-0.5x^2等价于0.5x^2，这个变换是成立的，只不过他省略了证明过程，你只需要按照定义，把两式相除取x趋向于0时候的极限，可以得到limt【（ln（1+x^2）-0.5x^2）/0.5x^2】=0，对于怎么得到的，你既可以用不定式求极限之中的罗比达法则来求解，同时你也可以把ln（1+x^2）【这是要求记住的五个泰勒公式中的一个】展开到二阶表达式你就可以看出来了（至于我们需要展开到几阶，这个标准就是展开之后遇见第一个带有x的非零项即可，之后的你全部都可以在要求不严格的情况下用高阶无穷小一笔带过【比如ln（1+x）等价于x，那么你只需要把ln（1+x）展开到一阶，后面的什么二阶，三阶都可以用0（x）来一笔带过】）【利用泰勒级数解决问题的时候需要利用好高阶无穷小的性质以及比较方法】。既然按照定义求得比值极限值是1，那么分子和分母当然是等价无穷小了。
按照上面的思路，第二个o(x^4)一样的意思，由于具体题目不知道，我只能说他的意思了：出现了o(x^4)就表示用泰勒级数展开之后，x的一阶、二阶、三阶、四阶这四个展开式中至少有一个前面的系数不为0，比如四阶系数为A，那么展开式之中就有Ax^4这一项，如果还继续展开，会有x的五阶、六阶乃至更高阶的多项式，但是为什么都不写出来了呢？这是因为没有写出来的必要了，五阶乃至五阶之后的相对于Ax^4这一项都是无穷小，根本不会影响对具体题目的极限值的求解，所以把后面的展开式写出来是画蛇添足，完全没必要。
如果楼主你对于这种类型的题目都还把握不准的话，那么很多知识点你都需要强化了，因为无穷小的观点是很基本的（我在高中学习物理的时候就常常用到这个方法了【高中物理竞赛对于微元法什么的都是很要求的】）。比如教科书上的对于第一章上面的无穷小和无穷大的关系乃至无穷小的一些运算法则，比较方法什么的你都需要强化了。说白了无穷小的思想就蕴含了我们常说的“抓大头”这个思想，“抓大头”的方法对于分子分母都是幂多项式的情况来说是很常用的，如果是趋近无穷大，那么我们仅仅需要看分子分母的最大的多项式的那个因子的阶数和系数就可以了，后面的都可以不看。
呵呵，楼主如果你今年考研的话感觉你数学是个难题啊。呵呵，我明年也会考研，祝福你我吧。
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