Question

求d/dx (∫[pai/2,x]cos^3 tdt=?

Answer 1

设∫cos^3 tdt=F(t)
d/dx (∫[pai/2,x]cos^3 tdt=dF(x)/dx-dF(π/2)/dx
dF(x)/dx=cos^3 x
F(π/2)是常数，dF(π/2)/dx=0
所以

d/dx (∫[pai/2,x]cos^3 tdt=dF(x)/dx-dF(π/2)/dx=cos^3 x

Answer 2

d/dx (∫[pai/2,x]cos^3 tdt
＝cos^3 x

追问

不对，[pai/2,x]是前面那个在上，后面那个在下

追答

那再加个负号就可以了

追问

说一下为什么要上下颠倒位置，前面再加负号，是用到哪个定理？

追答

其实呢，设其原函数是F(x)
d/dx (∫[pai/2,x]cos^3 tdt
=d/dx [F(pai/2)-F(x)]
=-F'(x)
=-f(x)

追问

F(x)=cos^3 x 对吗？

追答

F(x)=∫cos^3 tdt，积出来后，没有常数C

Answer 3

积分上下限颠倒一下，出来一个负号。微积分基本定理求导得-cos^3x