Question

正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD上的点，角EAF＝45度，求证EF＝BE＋DF

利用图形的旋转

Answer 1

在CD延长线上取一点P，使DP=BE；
ADP和ABE全等，AP=AE；角DAP=角BAE；
若角EAF=45度，则角FAP=45度；
三角形EAF和三角形FAP全等；
EF=FP=DF+BE;

Answer 2

延长CB到G，使GB=DF，连接AG∵AB=AD，∠ABG=∠D=90°，
∴△ABG≌△ADF
∴∠3=∠2，AG=AF，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠1+∠3=45°=∠EAF，
又∵AE=AE，
∴△AGE≌△AFE
∴GB+BE=EF，
∴DF+BE=EF；

Answer 3

证明:在CB的延长线上取点G，使BG=DF，连接AG
∵正方形ABCD
∴AB=AD，∠BAD=∠ADC=∠ABG=90
∵BG=DF
∴△ABG≌△ADF
(SAS)
∴AG=AF，∠BAG=∠DAF
∵∠EAF=45
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=45
∴∠EAG=∠BAE+∠BAG=∠BAE+∠DAF=45
∴∠EAG=∠EAF
∵AE=AE
∴△EAG≌△EAF
(SAS)
∴EG=EF
∵EG=BE+BG=BE+DF
∴EF=BE+DF