Question

如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点，P异于A、D，Q是BC边上的一动点，连接AQ、DQ，

过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．
（1）请你判断△APE与△PDF的关系，并说明理由；
（2）若Q是BC的中点，当P点运动到什么位置时，四边形PEQF为菱形？说明理由；
（3）四边形PEQF能否为矩形，为什么？
v

Answer 1

（1) 相似 ∵PE∥DQ
∴∠QAD=∠QAD
∠AED=∠AQE
∴△APE∽△PDF
（2）p为中点 ∵PE∥DQ
PF∥AQ
∴PEQF是平行四边
∵p为中点
∴AP=PD
∵PEQF是平行四边形
∴∠APE=∠PDF
∠AEP=∠PFD
∴△AEP≌△DFP（AAS）
∴PE=PF
∴菱形PEQF
(3) 能 作AB延长线AE,使AB=BE
连接ED交BC于点Q,此时AQ=EQ,ED=AQ+DQ
得三角形BFE全等于三角形CFD
所以点Q在BC中点处

给分吧！！！

Answer 2

1）：相似，这个很明显吧
2）：p为中点。PEQF是平行四边形，只要临边相等就是菱形了。只要AEP≌DFP就行。
3）：不能，角AQD可以算，不等于90°

Answer 3

解：（1）∵PE∥DQ
∴∠APE=∠ADQ，∠AEP=∠AQD．
∴△APE∽△ADQ

（2）可证△APE∽△ADQ与△PDF∽△ADQ，及S△PEF= 12S平行四边形PEQF，
根据相似三角形的面积之比等于相似比得平方，
∴ S△AEPS△AQD= (x3)2， S△DPFS△ADQ= (3-x3)2，
得S△PEF= 12×[3- (x3)2×3- (3-x3)2×3]= 12（- 23x2+x）=- 13x2+x=- 13（x- 32）2+ 34．
∴当x= 32，即P是AD的中点时，S△PEF取得最大值 34．

（3）作A关于直线BC的对称点A′，连DA′交BC于Q，则这个点Q就是使△ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点．

Answer 4

解:
(1).因为角PAE=角PAE
又因为PE//PQ,所以角PEA=角DQA
所以三角形APE∽三角形ADQ

(2)作PF垂直DQ,AG垂直DQ
得AG/DC=AD/DQ
即AG=6/DQ
PF/AG=(3-x)/3
PF=[(6/DQ)*(3-x)]/3
EP/DQ=x/3
PE=(DQ*x)/3
S=PE*PF*0.5=-1/3x^2+x
最大值自己求
(3)作AB延长线AE,使AB=BE
连接ED交BC于点Q,此时AQ=EQ,ED=AQ+DQ

得三角形BFE全等于三角形CFD
所以点Q在BC中点处

Answer 5

（1）∵PE‖DQ
∴：△APE∽△ADQ

（2）S三角形AQD=3
S△APE=x²/3
S△DPF=(3-x）²/3
S平行四边形PFQE=(6x-2x²）/3
S△PEF=-x²/3 +x
当x=3/2 时，有最大值=3/4
（3）作A关于直线BC的对称点A′，连DA′交BC于Q，则这个点Q就是使△ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点．