Question

矩形ABCD的边长AB=2,BC=3,点P是AD边上的一点，Q是BC边上的任意一点，连AQ,DQ,过点P作PE平行DQ交AQ于点E,作

矩形ABCD的边长AB=2,BC=3,点P是AD边上的一点，Q是BC边上的任意一点，连AQ,DQ,过点P作PE平行DQ交AQ于点E,作PE平行AQ交DQ于点F.设AP的长为X,试求三角形PEF的面积关于X的函数关系式，并求出当点P在何处时，三角形PEF的面积取得最大值？最大值是多少？
当点Q在何处时，三角形ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明）

Answer 1

解:△ADQ面积=(1/2)*2*3=3
由△APE∽△ADQ,
△APE面积/△ADQ面积=AP^2/3^2，
△APE面积=x^2/3,
同理:
△PDF面积/△ADQ面积=(3-X)^2/3^2
△PDF面积=(1/3)(3-x)^2,
所以平行四边形PEQF面积=△ADQ面积-△APE面积-△PDF面积
=3-x^2/3-(3-x)^2/3
=(-2/3)x^2+2x,
所以△PEF面积=(1/2)平行四边形PEQF面积=-x^2/3+x
当x=-b/2a=3/2,即AD的中点时,△PEF面积最大,为3/4

作D关于BC的对称点D',连AD'交BC于Q,
此时,Q在BC的中点,三角形ADQ的周长最小,
理由:两点之间线段最短!