Question

【急】一。求1/（sinx*(cosx)^4)的积分 二。求1/(x*（x^n+a))的积分（a不等于0）

Answer 1

1、 ∫1/（sinx*(cosx)^4) dx
= ∫sinx/[sin²x*(cosx)^4]*dx
= ∫1/[(1-cos²x)*(cosx)^4]*d(-cosx)
= - ∫[1/(1-cos²x) +(1+cos²x)/(cosx)^4]*d(cosx)
= - ∫[0.5/(1-cosx)+0.5/(1+cosx)+1/cos²x+1/(cosx)^4]*d(cosx)
= 0.5ln(1-cosx) -0.5ln(1+cosx) +secx +1/3*sec³x +c

2、 ∫1/(x*（x^n+a))dx
= ∫x^(n-1)/[x^(n-1)*x*（x^n+a)]dx
=1/n* ∫1/[x^n *(x^n+a)]d(x^n)
=1/n* ∫1/a*[1/x^n -1/(x^n+a)]d(x^n)
=1/(a*n)* [ln(x^n) - ln(x^n+a)] +c

Answer 2

∫1/sinx*(cosx)^4 dx=∫sinx^2/sinx*(cosx)^4 dx+∫(cosx)^2/sinx*(cosx)^4dx=-∫dcosx/(cosx)^4+∫1/sinx*(cosx)^2 dx=-∫dcosx/(cosx)^4+∫(sinx)^2/sinx*(cosx)^2 dx +∫(cosx)^2/sinx*(cosx)^2 dx=-∫dcosx/(cosx)^4-∫dcosx/(cosx)^2+∫1/sinx dx=1/5*(cosx)^5+1/3*(cosx)^3+∫cscx dx
=1/5*(cosx)^5+1/3*(cosx)^3+ln|csc x-cot x|+C

∫1/(x*（x^n+a)) dx=∫x^(n-1)/(x^n(x^n+a)) dx=1/n ∫1/(x^n(x^n+a)) dx^n=1/an( ∫1/x^n dx-∫(1/x^n+a)) dx=1/an ln x^n/(x^n+a) +C