Question

已知直线l经过点A(4,0),

且与x轴,y轴围成的直角三角形面积等于8,如果一条抛物线经过L与两坐标的交点，且开口向下，并以x=3为对称轴，求此抛物线的表达式

Answer 1

设直线与y轴交于点B，则S三角形=OA*OB/2
设直线:y=kx+m，将A（4，0）代入得：m=-4k，所以点B（0，-4k)
所以：4*|-4k|/2=8，解得k=1或k=-1
所以点B（0，-4）或（0，4）
设抛物线为:y=ax^2+bx+c
将A（4，0），B（0，-4）或（0，4），对称轴为x=3分别代入得：
16a+4b+c=0 16a+4b+c=0
c=-4 或: c=4
-b/2a=3 -b/2a=3
解得:a=-1/2,b=3,c=-4或 a=1/2,b=-3,c=4
所以：y=-1/2x^2+3x-4 或y=1/2x^2-3x+4

Answer 2

解
设直线的解析式为Y＝KX+a
过点A（4,0）时
4K+a＝0
a＝-4K
当X＝0时，Y＝a＝-4K
当Y＝0时，KX+a＝0
X＝-a/K＝4K/K＝4
则L与X轴、Y轴围成的直角三角形的直角边长为4和｜4K｜
4×｜4K｜/2＝8
K＝±1
B＝-4K＝±4
当K＝1时
直线L：Y＝X-4
与X轴的交点A（4,0），与Y轴的交点B（0,-4）
因抛物线对称轴为X＝3,
设抛物线的解析式为Y＝M（X-3）²+N
过A（4,0）时
M+N＝0 1）
过B（0,-4）时
9M+N＝-4 2）
2）-1）得
8M＝-4
M＝-1/2
把M＝-1/2代入1），得
N＝1/2
抛物线的解析式为Y＝-（X-3）²/2+1/2＝-X²/2+9X/2-4
当K＝-1时
直线L：Y＝-X+4
与X轴的交点A（4,0），与Y轴的交点B（0,4）
因抛物线对称轴为X＝3,
设抛物线解析式为Y＝E（X-3）²+F
过点A（4,0）时
E+F＝0 3）
过点B（0,4）时
9E+F＝4 4）
4）-3）得
8E＝4
E＝2
E＝2＞0,开口向上。故舍去。
解得：此抛物线的表达式为Y＝-X²/2+9X/2-4