Question

如图，平面直角坐标系中，直线L的解析式为y=-2x-8，L分别于x轴y轴交于A、B两点，点P（0、k）是y轴的负半轴

如图，平面直角坐标系中，直线L的解析式为y=-2x-8，L分别于x轴y轴交于A、B两点，点P（0、k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作圆P。
2）当k为何值时，以圆P与直线L的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？

Answer 1

解：（1）PA=根号下k^2+(-4)^2=根号下k^2+16
PB=8+k
由题中PA=PB 得 根号下k^2+16=8+k
两边平方 k^2+16=k^2=16k+64
得 k=-3
又因为圆半径为3，所以圆P与X轴相切。
（2）设圆P与直线的两个交点分别为C,D
因为三角形为等边三角形
所以点P到直线的垂直距离=根号下3^2-(3/2)^2=二分之3根号3 垂足为点M
因为三角形PMB相似于三角形OAB
所以PM:OA=PB:AB 即：二分之3根号3 :4=8+k:根号下4^2+8^2
得：k=(3根号下15/2)-8