Question

四棱锥P—ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，CD‖AB，AB=4，CD=1，点M在PB上，

四棱锥P—ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，CD‖AB，AB=4，CD=1，点M在PB上，且MB=3PM，PB与平面ABC成30°角，（1）求证：CM‖面PAD；（2）求证：面PAB⊥面PAD；（3）求点C到平面PAD的距离.

Answer 1

解：如图，建立空间直角坐标系O-xyz，C为坐标原点O，

（1）证明：如图，建立空间直角坐标系．

∵PC⊥平面ABCD，

∴∠PBC为PB与平面ABC所成的角，即∠PBC=30°．

∵|PC|=2，∴|BC|=2 3，|PB|=4．

得D（1，0，0）、B（0，2 3，0）、

A（4，2 3，0）、P（0，0，2）．

∵|MB|=3|PM|，

∴|PM|=1，M（0， 32， 32）， CM→=（0， 32， 32），

DP→=（-1，0，2）， DA→=（3，2 3，0）．

设 CM→=x DP→+y DA→（x、y∈R），

则（0， 32， 32）=x（-1，0，2）+y（3，2 3，0）⇒x= 34且y= 14，

∴ CM→= 34DP→+ 14DA→．

∴ CM→、 DP→、 DA→共面．又∵C∉平面PAD，故CM∥平面PAD．

（2）证明：过B作BE⊥PA，E为垂足．

∵|PB|=|AB|=4，∴E为PA的中点．

∴E（2， 3，1）， BE→=（2，- 3，1）．

又∵ BE→• DA→=（2，- 3，1）•（3，2 3，0）=0，

∴ BE→⊥ DA→，即BE⊥DA．

而BE⊥PA，∴BE⊥面PAD．

∵BE⊂面PAB，∴面PAB⊥面PAD．

（3）解：由BE⊥面PAD知，

平面PAD的单位向量n0= BE→|BE→|= 122（2，- 3，1）．

∴CD=（1，0，0）的点C到平面PAD的距离

d=|n0• CD→|=| 122（2，- 3，1）•（1，0，0）|= 22．

Answer 2

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