Question

证明函数f(x,y)=sqrt(lxyl)在(0,0)点连续，偏导数存在,但在(0,0)点不可微

Answer 1

根号(|xy|)<=根号(x^2+y^2)/2，故连续。利用定义，
f对x的导数fx(0,0)＝lim(x趋于0）(f(x,0)-f(0,0))/(x-0)=0，f对y的导数fy(0,0)＝lim(x趋于0）(f(x,0)-f(0,0))/(x-0)=0，故偏导数存在。
要想可微，必有lim(f(x,y)--f(0,0)-fx(0,0)x-fy(0,0)y)/(根号（x^2+y^2）)=0，化简得lim 根号(|xy|)/根号(x^2+y^2)=0，但没有极限，故不成立。

Answer 2

根号(|xy|)<=根号(x^2+y^2)/2，故连续。利用定义，
f对x的导数fx(0,0)＝lim(x趋于0）(f(x,0)-f(0,0))/(x-0)=0，f对y的导数fy(0,0)＝lim(x趋于0）(f(x,0)-f(0,0))/(x-0)=0，故偏导数存在。
要想可微，必有lim(f(x,y)--f(0,0)-fx(0,0)x-fy(0,0)y)/(根号（x^2+y^2）)=0，化简得lim
根号(|xy|)/根号(x^2+y^2)=0，但没有极限，故不成立。