Question

一直关于X的方程2x的平方-（根号3+1）X+m=0的两根为sinA和cosA：求1+sinA+cosA+2sinAcosA/1+sinA+cosA的值

以及求m的值

Answer 1

解：由韦达定理
sina+cosa=(√3+1)/2
sinacosa=m/2
(sina)^2+(cosa)^2=1
所以(sina+cosa)^2-2sincosa=1
(2+√3)/2-m=1
m=√3/2

2x^2-(√3+1)x+√3/2=0
(x-√3/2)(2x-1)=0
sinA = √3/2
cosA = 1/2

或
cosA = √3/2
sinA = 1/2

A属于(0,派).
因此 A = 60 度 或 A=30度

(tanA.sinA)/(tanA-1) + cosA/(1-tanA)
= sinA/(1-tanA) + cosA/(1-tanA)
=(sinA+cosA)/(1-tanA)
=(sin60+cos60)/(1-tanA)

当 A = 60:
原式 = [（√3 + 1）/2]/(1-√3)=-1
当 A =30:
原式 = [（√3 + 1）/2]/(1-1/√3)
= [（√3 + 1）/2]/[(√3-1)/√3]
= √3

追问

为什么：A属于(0,派).
因此 A = 60 度 或 A=30度 ？？

追答

因为
sinA = √3/2
cosA = 1/2
或
cosA = √3/2
sinA = 1/2

如果A=120°或150°，cosA是负值

追问

(tanA.sinA)/(tanA-1) + cosA/(1-tanA)
= sinA/(1-tanA) + cosA/(1-tanA)
=(sinA+cosA)/(1-tanA)
=(sin60+cos60)/(1-tanA)

这一步什么意思？

追答

不好意思，这题换种解法更容易理解，上面不用管了。
解：由根与系数关系，得
sinA+cosA=(√3+1)/2,（1）
sinA*cosA=m/2,（2）
又(sinA)^2+(cosA)^2=1,即
（sinA+cosA）^2-2sinA*cosA=1，
（1），（2）代入，得，
[(√3+1)/2]^2-2*(m/2)=1,
m=√3/2,
将m=√3/2代入，得方程为：
2x^2-(√3+1)x+√3/2=0
解得，x1=1/2,x2=√3/2,即为cosa和sina的值，下面求(1+sinA+cosA+2sinAcosA)/(1+sinA+cosA)。
上式=[(sin²a+cos²a)+sina+cosa+2sinacosa]/(1+sina+cosa)
=[(sina+cosa)+(sin²a+cos²a+2sinacosa)]/(1+sina+cosa)
=[(sina+cosa)+(sina+cosa)²]/(1+sina+cosa)
=(sina+cosa)(1+sina+cosa)/(1+sina+cosa)
=sina+cosa
=1/2+√3/2
=(1+√3)/2

Answer 2

解：方程2x²-（^3+1)x+m=0的两根是sina和cosa。则由韦达定理得sina+cosa=(^3+1）/2 (1 ). 和sinacosa=m/2.. (2). (1)式平方得sin²a+2sinacosa+cos²a=（2+^3)/2. 因为sin²+cos²a=1.所以2sinacosa=^3/2..所以sinacosa=^3/4. m=^3/2. i+sina+cosa+2sinacosa/1+sina+cosa=1+（^3+1）/2+^3/2/[1+(^3+1)/2]=(3+^3)/2+^3/(3+^3)=1+^3.