Question

已知空间中三点A(-2,0,2)B(-1,1,2)C(-3,0,4),设a=向量AB,b=向量AC

已知空间中三点A(-2,0,2)B(-1,1,2)C(-3,0,4),设a=向量AB,b=向量AC
(1)若|c|=3,且c平行于向量BC，求向量c
（2）求向量a与向量b的夹角的余弦值
（3）若ka+b与ka-2b互相垂直，求实数k的值

Answer 1

第一个问题：
∵B的坐标是（－1，1，2）、C的坐标是（－3，0，4），∴向量BC＝（－2，－1，2），
∵向量c∥向量BC，∴可设向量c＝（－2t，－t，2t）。
∴｜向量c｜＝√［（－2t）^2＋（－t）^2＋（2t）^2］＝√（9t^2）＝3｜t｜＝3，∴t＝±1。
∵向量BC＝（－2，－1，2），∴t＝－1，∴向量c＝（2，1，－2）。

第二个问题：
设向量a与向量b的夹角为α。
向量a＝向量AB＝（1，1，0），向量b＝向量AC＝（－1，0，2）。
∴cosα＝向量a·向量b/（｜向量a｜｜向量b｜）
＝（－1＋0＋0）/［√（1＋1＋0）√（1＋0＋4）］＝－1/√10＝－√10/10。

第三个问题：
k向量a＋向量b＝（k－1，k，2），k向量a－2向量b＝（k＋2，k，－4）。
∵（k向量a＋向量b）⊥（k向量a－2向量b），
∴（k向量a＋向量b）·（k向量a－2向量b）＝0，
∴（k－1）（k＋2）＋k^2－8＝0，　∴k^2＋k－2＋k^2－8＝0，　∴2k^2＋k－10＝0，
∴（2k＋5）（k－2）＝0，　∴k1＝－5/2，　k2＝2。
即：满足条件的实数k为－5/2或2。

Answer 2

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