Question

已知3sin²α+2sin²β=5sinα，求cos²α+cos²β的取值范围，要详细过程~

Answer 1

解：
3sin²α+2sin²β=5sinα
3sin²α+2（1-cos²β）=5sinα
cos²β=1/2(3sin²α-5sinα+2)
cos²α+cos²β=cos²α+1/2(3sin²α-5sinα+2)
=1-sin²α+3/2sin²α-5/2sinα+1
=1/2(sinα-5/2)²-9/8
∵5sinα=3sin²α+2sin²β
∴1>=sinα>=0
∵cos²β=1/2(3sin²α-5sinα+2)
∴0<=1/2(3sin²α-5sinα+2)<=1
解0<=1/2(3sin²α-5sinα+2) 得 sinα=1或sinα<=2/3
解1/2(3sin²α-5sinα+2)<=1，即 1/2(3sin²α-5sinα)<=0 得：0<=sina<=1
∴sinα∈{1}∪[0，2/3]
当sinα=2/3时 cos²α+cos²β=1/2(2/3-5/2)²-9/8=5/9
当sinα=0时，cos²α+cos²β取得最大值 1/2(0-5/2)²-9/8=2
当sinα=1时，cos²α+cos²β取得最小值 1/2(1-5/2)²-9/8=0
cos²α+cos²β∈∈{0}∪[5/9，2]

Answer 2

3sin²α+2sin²β=5sinα≥0
2sin²β=5sinα - 3sin²α≥0
得 1 ≥sinα≥0
cos²α+cos²β=cos²α+1/2(3sin²α-5sinα+2)
=1-sin²α+3/2sin²α-5/2sinα+1
=1/2(sinα-5/2)²-9/8
sinα＝0时,最大值=2
sinα＝1，最小值=0
2≥cos²α+cos²β≥0

Answer 3

3sin²α+2sin²β=5sinα
sin²α+2sin²α+2sin²β=5sinα
sin²α+2-2cos²α+2-2cos²β=5sinα
cos²α+cos²β=(sin²α-5sinα+4)/2
cos²α+cos²β=(sinα-1)(sinα-4)/2
sinα最大值为1
cos²α+cos²β=0
sinα最小值为-1
cos²α+cos²β=5
cos²α+cos²β取值范围[0,5]