Question

已知函数f(x)=ln(x+1)-x,试证明：1-1/(x+1)≤ln（x+1)≤x

Answer 1

f(x)=ln(x+1)-x(x>-1) f'(x)=1/(x+1)-1=-x/(x+1)
若-1<x<0，f'(x)>0，f(x)增。若x>0，f'(x)<0，f(x)减。
当x=0时，f(x)取极大值(也是最大值)f(0)=0
所以，f(x)=ln(x+1)-x<=f(0)=0，ln(x+1)<=x
设g(x)=ln(x+1)+1/(x+1)-1 g'(x)=1/(x+1)-1/(x+1)^2=x/(x+1)^2
若-1<x<0，g'(x)<0，g(x)减，若x>0，g'(x)>0，g(x)增。
所以，当x=0时，g(x)取极小值(也是最小值)g(0)=0
所以，g(x)=ln(x+1)+1/(x+1)-1>=g(0)=0，ln(x+1)>=1-1/(x+1)
综上所述，1-1/(x+1)≤ln（x+1)≤x.

Answer 2

欲证1-1/(x+1)≤ln（x+1)≤x
即证e^[1-1/(x+1)]≤e^[ln（x+1)]≤e^x
即证-e^[1/(x+1)]≤x+1≤e^x.
因为函数f(x)定义域为x>-1,
所以-e^[1/(x+1)]为负数恒≤0，故-e^[1/(x+1)]≤x+1，
而x+1≤e^x在函数图象上已知，
证毕