Question

如果二面角alβ的平面角是锐角,点P到a,β和棱的距离分别是2根号2,4和4根号2,求二

求二面角的大小

Answer 1

如图

过点P分别作面α、β，棱l的垂线，垂足依次为A、B、C； 

连接AC、PC 

则，PA=2√2，PB=4，PC=4√2 

因为PA⊥α，则PA⊥l 

而，PC⊥l 

所以，l⊥面PAC 

同理，l⊥面PBC 

所以，P、A、B、C四点共面 

则，∠ACB即为二面角α-l-β的平面角 

在Rt△PAC中，PC=4√2，PA=2√2；所以，∠PCA=30° 

在Rt△PBC中，PC=4√2，PB=4；所以：∠PCB=45° 

所以，∠ACB=∠PCA+∠PCB=30°+45°=75° 

同理

当点P在二面角外部时，∠ACB=∠PCB-∠PCA=45°-30°=15°

综上，二面角α-l-β的平面角大小是75°或15°

Answer 2

解：设P在α上的射影为A，P⊥l于点C.
因为PA⊥α，所以PA⊥l.因为PC⊥l，PA∩PC=P，所以l⊥平面APC，因此l⊥AC.
设P在β上的射影为B.
因为PB⊥β，所以PB⊥l.因为PC⊥l，PB∩PC=P，所以l⊥平面BPC，因此l⊥BC.
则∠ACB是二面角α-l-β的平面角.
在Rt△ACP中，sin∠ACP=AP/PC=(2√2)/(4√2)=1/2，则∠ACP=30°.
在Rt△BCP中，sin∠BCP=BP/PC=4/(4√2)=(√2)/2，则∠BCP=45°.
当点P在二面角内部时，∠ACB=∠BCP+∠ACP=45°+30°=75°；
当点P在二面角外部时，∠ACB=∠BCP-∠ACP=45°-30°=15°.
所以二面角α-l-β的平面角大小是75或15

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