Question

求值域：y=（x²－2x＋4）/（x²－3x＋3）

求值域：y=（x²－2x＋4）/（x²－3x＋3）

Answer 1

y=（x²－2x＋4）/（x²－3x＋3）
=（x²－3x＋3+x+1）/（x²－3x＋3）
=1+(x+1）/（x²－3x＋3） (令x+1=t,注意分母永远有意义，△＜0）
=1+t/[(t-1)^2－3(t-1)＋3]
=1+t/[t^2-5t+7] (上下同除以t）
=1+1/(t-5+7/t)
t>0时，t-5+7/t≥2√7－5＞0
所以
y≤1+1/(2√7－5)
=1+(2√7+5)/3
t＜0时，t-5+7/t≤-2√7+5＜0
y≥1+1/(-2√7+5)
=1-(2√7+5)/3
因此值域是
1-(2√7+5)/3<y≤1+(2√7+5)/3

Answer 2

x²－3x＋3>0恒成立 定义域为R
y=（x²－2x＋4）/（x²－3x＋3）
x^2-2x+4=y*x^2-3yx+3y
(1-y)x^2+(3y-2)x+(4-3y)=0
判别式=9y^2-12y+4-4(1-y)(4-3y)
=9y^2-12y+4-4(3y^2-7y+4)
=-3y^2+16y-12>=0
3y^2-16y+12<=0
(8-2√7)/3<=y<=(8+2√7)/3
值域为 【(8-2√7)/3，(8+2√7)/3】

Answer 3

y＝（x²－2x＋4）/（x²－3x＋3）
∴yx²－3yx＋3y＝x²－2x＋4
∴(y－1)x²－(3y－2)x＋3y－4＝0有实数根
当y＝1时，﹣x－1＝0 x＝﹣1 方程有实数根
当y≠1时，△＝（3y－2）²－4(y－1)(3y－4)≥0
∴9y²－12y＋4－12y²＋28y－16≥0
∴﹣3y²＋16y－12≥0
∴3y²－16y＋12≤0
∴(8－2√7)/3≤y≤(8＋2√7)/3

Answer 4

y=(x2-2x+4)/ ( x2-3x+3)
将右式分母移到左边，变为：
y*( x2-3x+3)= (x2-2x+4)
展开后得到一元二次方程：yx2-3yx+3y= x2-2x+4
合并得：(y-1)x2-(3y-2)x+(3y-4)=0
若此方程存在，则必须满足根的判别式b2-4ac≥0
∴(3y-2)2-4(y-1) (3y-4) ≥0
求出y的值域即可。

Answer 5

x=-1时，y=1
x<>-1时，y=1+(x+1)/(x^2-3x+3)=1+(x+1)/[(x+1)^2+7-5(x+1)]=1+1/[(x+1)+7/(x+1)-5]
当x<-1时，(x+1)+7/(x+1)<=-2√7，y>=1-1/(2√7+5)
当x>-1时，(x+1)+7/(x+1)>=2√7，y<=1+1/(2√7-5)
所以，原函数的值域是：[(8-2√7)/3,(8+2√7)/3]