Question

如图，在△ABC中，以AC边为直径，交BC于D，在劣弧弧AD上取一点E，是∠EBC=∠DEC

（1）求证：AC⊥BH
（2）若∠ABC=45°，圆O的直径为10，BD=8，求CE的长
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Answer 1

：（1）连接AD，
∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC，
∴∠DAC=∠EBC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠DCA+∠DAC=90°，
∴∠EBC+∠DCA=90°，
∴∠BGC=180°-（∠EBC+∠DCA）=180°-90°=90°，
∴AC⊥BH；
（2）∵∠BDA=180°-∠ADC=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°，
∴BD=AD，
∵BD=8，∴AD=8，
在直角三角形ADC中，AD=8，AC=10，
根据勾股定理得：DC=6，则BC=BD+DC=14，
∵∠EBC=∠DEC，∠C公共角，
∴△BCE∽△ECD，
∴ BCCE=CECD，即CE2=BC•CD=14×6=84，
∴CE= 84=2 21．