Question

一动圆过定点a(2,0),且与定圆x²+4x+y²-32=0内切，求动圆圆心m的轨迹方程

Answer 1

把点a(2,0)代入x²+4x+y²-32得x²+4x+y²-32=-24<0
所以动圆在定圆内部
设动圆圆心为(x,y)
则圆心距等于两圆的半径差，
x²+4x+y²-32=0
标准方程为(x+2)^2x+y^2=28
则根据题意得
√28-√[(x-2)^2+y^2]=√[(x+2)^2+y^2]
移项得
√[(x+2)^2+y^2]+√[(x-2)^2+y^2]=√28=2√7
上式可以看成是点(x,y)到两定点(2,0)(-2,0)的距离之和等于2√7的点的轨迹，
根据椭圆的定义知， 这是一个焦距c=2，长轴为√7的椭圆
因此其b=a^2-c^2=3
椭圆的标准方程为
x^2/7+y^2/3=1
这就是动圆圆心m的轨迹方程

Answer 2

(x+2)²+y²=36
圆心 C(-2,0),r1=6
设半径是r，圆心M
则MA=r

A在圆C内部
两元内切
所以MC|=6-r
则MA+MC=6
是椭圆，c=2
2a=6,a=3
b²=a²-c²=5
所以x²/9+y²/5=1

Answer 3

设圆心M为(x,y) 半径为r
根号下[(x-2)²+y²]=r
x²+4x+y²-32=0
(x+2)²+y²=36
圆心为(-2,0) 半径为6
两圆心距=6-r
r+6-r=6
圆心到两定点间的距离和为6 所以圆心的轨迹为椭圆
6=2a a=3 a²=9 c=2 c²=4 所以b²=5
所以方程为 x²/9+y²/5=1